El principio del máximo del control admisible

Abstract

Vamos a considerar el sistema lineal x ̇ = Ax + bu, completamente controlable, donde x 0 ∈ R n, u ∈ R, A es una matriz n × n cuyos elementos encima de la diagonal son iguales a 1 y los restantes ceros, b es un vector n-dimensional cuyo último componente es 1 y todos los demás 0. Hallar el control admisible | u |≤ 1, tales que la trayectoria fase x (t) del sistema x ̇ = Ax + bu (t), partiendo desde el punto de fase x (0) = x 0, llegue al origen en tiempo T > T min, es decir x (T) = 0. En la presente tesis revisamos de manera detallada la sección [➜ 4] y [➜ 5] del libro [5] donde se estudia el principio del máximo admisible, en el trabajo hacemos la comparación del control óptimo u opt (t) respecto la rapidez y el control u max (t) que resulta de la aplicación del principio del máximo admisible. Estos dos controles toman valores ±1 y ambos garantizan el traslado de un punto inicial x (0) = x 0 al origen en tiempo finito. El control óptimo u opt (t) realiza el traslado de x (0) = x 0 al origen en un tiempo mínimo posible (T min). El control del máximo admisible u max (t) también realiza el traslado al origen en tiempo T > T min. Se dan ejemplos para n = 2 y n = 3, se comparan los tiempos de conmutación del control óptimo con respecto al control admisible.

Vamos a considerar el sistema lineal x ̇ = Ax + bu, completamente controlable, donde x 0 ∈ R n, u ∈ R, A es una matriz n × n cuyos elementos encima de la diagonal son iguales a 1 y los restantes ceros, b es un vector n-dimensional cuyo último componente es 1 y todos los demás 0. Hallar el control admisible | u |≤ 1, tales que la trayectoria fase x (t) del sistema x ̇ = Ax + bu (t), partiendo desde el punto de fase x (0) = x 0, llegue al origen en tiempo T > T min, es decir x (T) = 0. En la presente tesis revisamos de manera detallada la sección [➜ 4] y [➜ 5] del libro [5] donde se estudia el principio del máximo admisible, en el trabajo hacemos la comparación del control óptimo u opt (t) respecto la rapidez y el control u max (t) que resulta de la aplicación del principio del máximo admisible. Estos dos controles toman valores ±1 y ambos garantizan el traslado de un punto inicial x (0) = x 0 al origen en tiempo finito. El control óptimo u opt (t) realiza el traslado de x (0) = x 0 al origen en un tiempo mínimo posible (T min). El control del máximo admisible u max (t) también realiza el traslado al origen en tiempo T > T min. Se dan ejemplos para n = 2 y n = 3, se comparan los tiempos de conmutación del control óptimo con respecto al control admisible.