Matrices, correspondencia RSK y representaciones de grupo simétrico

Abstract

There is a biyective map between pairs of semistandard Young tableaux and 2- dimensional matrices with nonnegative integer entries. The main result of this thesis shows a generalization of that bijection to 3-dimensional matrices which was given by Ernesto Vallejo and Diana Avilla in 2012; to reach it is necessary to know the combinatorics of Young tableaux and the relation they have with the representations of the symmetric group. This relationship is far-reaching, because by means of the tableaux it is possible to know the irreducible modules of Sn. Furthermore, the multiplicity of the decomposition in irreducible modules can be calculated using tableaux in some cases. Some of these multiplicities are known as Kostka numbers and Littlewood-Richardson numbers (in honor of mathematicians that studied them), the latter serve as motivation to try to locate a combinational calculation of Kronecker coefficients. To relate the Littlewood-Richardson numbers and Kostka numbers with the representations of Sn, it is necessary to create a link between the tebleau ring and a graduated ring of those representations using the symmetric homogeneous polynomial ring. In the representation theory there are functions associated to the G-modules called characters, and a inner product of characters. These functions together with a theorem from Snapper allow us to relate the set of 3-dimensional matrices with fixed 1-margins with the set of triples whose coordinates are two semistandard tableaux and one pair of LR multitableaux; thus reaching the above generalization. Even more, as an application of this result, we obtain a combinatorial approximation of Kronecker coefficients.

Existe una función biyecctiva entre parejas de tablas de Young semiestándar y matrices 2-dimensionales con entradas enteras no negativas. El resultado principal de esta tesis muestra una generalización de esa biyección a matrices 3-dimensionales, dada por Ernesto Vallejo y Diana Avella en el 2012; para llegar a ella es necesario conocer la combinatoria de las tablas de Young y la relación que estas tienen con las representaciones del grupo simétrico. Esta relación es muy amplia, ya que gracias a las tablas es posible conocer los módulos irreducibles de Sn. Además, la multiplicidad de la descomposición en módulos irreducibles puede ser calculada usando tablas en ciertos casos. Algunas de estas multiplicidades son conocidas como números de Kostka y coeficientes de Littlewood-Richardson (en honor a los matemáticos que las estudiaron), estas últimas sirven de motivación para tratar de encontrar un cálculo combinatorio de los coeficientes de Kronecker. Para poder relacionar los coeficientes de Littlewood-Richardson y los números de Kostka con las representaciones de Sn, es necesario crear un puente entre el anillo de tablas y un anillo graduado de dichas representaciones pasando por el anillo de polinomios simétricos homogéneos. En la teoría de representaciones existen unas funciones asociadas a los G- módulos llamadas caracteres, y un producto interno en las mismas. Dichas funciones junto con un teorema llamado teorema de Snapper nos permiten relacionar al conjunto de matrices 3-dimensionales con 1-margenes fijos con el conjunto de ternas cuyas entradas son dos tablas semiestandar y una pareja de multitablas LR; llegando así a la generalización antes mencionada. Más aún, como aplicación de este resultado, se obtiene una aproximación combinatoria de los coeficientes de Kronecker.