Soluciones periódicas para reacciones bioquímicas catalizadas con enzimas

Abstract

Mathematical models have been become important tools in the analysis of chemical reactions, enzymatic reactions in biochemical systems are of special interest. A basic scheme for an enzyme catalyzed reaction is based on the Michaelis-Menten equation (Ec. 2.45), this model generally assumes that reactions of this type happen according to the law of mass action, giving rise to a system of ordinary non-linear differential equations that is subsequently reduced to a two-dimensional system. Studying periodic solutions in this type of reactions is considered very important because this periodicity is common in biological systems. Therefore, determining the existence of such solutions with different configurations of parameters and input functions was a key piece in this paper. Katriel in his work [6] questions the conditions under which there is a periodic solution for reactions catalyzed by enzymes, which was answered using Leray-Schauder theory (in this thesis we give an alternative proof using cooperative systems theory, Katriel also asks if in case of any periodic solution this is unique and asymptotically stable, questions that we answered using the theory of cooperative systems and as an application of our main result (theorem 3.3.2). It was also considered a model in which the product is extracted continuously (Ec. 3.53) for which the existence of at least one periodic solution was proved. On the other hand, due to the inherent nature of the biological systems, it is also appropriate to use the generalized law of mass action, getting more general systems and for which we also prove the existence of periodic orbits. Finally, numerical simulations were carried out to illustrate our analytical results.

Los modelos matemáticos se han convertido en herramientas importantes para analizar las reacciones químicas, de especial interés son las reacciones enzimáticas en sistemas bioquímicos. Un esquema básico para una reacción catalizada por enzimas se basa en la ecuación de Michaelis-Menten (Ec.2.45), este modelo generalmente asume que las reacciones de este tipo se producen de acuerdo a la ley de acción de masas, dando lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineal que posteriormente se reduce a un sistema bidimensional. En el estudio de estos modelos enzimáticos, el análisis de soluciones periódicas se considera un objetivo importante ya que esta periodicidad es común en sistemas biológicos. Por lo tanto, determinar la existencia de tales soluciones con diferentes configuraciones de parámetros y funciones de entrada fue de especial interés. Katriel en su trabajo [6] se cuestiona sobre las condiciones bajo las cuales existe solución periódica para reacciones catalizadas por enzimas, a la cual dio respuesta usando teoría de Leray-Schauder (en esta tesis damos una prueba alterna usando teoría de sistemas cooperativos) Katriel también pregunta si en caso de existir alguna solución periódica esta es única y asintóticamente estable, preguntas a las que se dio respuesta en esta tesis haciendo uso de la teoría de sistemas cooperativos y como una aplicación de nuestro resultado principal (Teorema 3.3.2). También se consideró un modelo en el que se extrae el producto de manera continua (Ec.3.53) para el cual se obtuvo la existencia de al menos una solución periódica. Por otro lado, debido a la naturaleza inherente de los sistemas biológicos, es también adecuado utilizar la ley generalizada de masas, considerando esto obtenemos sistemas más generales, para los cuales también probamos la existencia de órbitas periódicas. Finalmente se realizaron simulaciones numéricas para ilustrar nuestros resultados analíticos.