Geodésicas simples en superficies hiperbólicas con una cúspide

Abstract

Let’s be a punctured surface (i.e a closed surface minus one point) with a complete Riemannian metric of constant curvature and finite area. In this thesis we study the cuspidal geodesics in S (i.e. it comes out of any compact subset in S) and show a sketch of the proof about the McShane Identity. The cuspidal geodesics in S are of two types: if both ands comes out of any compact subset, we say that the geodesic is bicuspidal, and if only one of its ends comes out, then it is called unicuspidal. The set of all cuspidal geodesics (oriented) is parametrized naturally for a circle S1. McShane described the simple unicuspidal geodesics of S like subset of this S1. He showed that the simple unicuspidal geodesics correspond to a Cantor set K _ S1 and each connected component of S1rK contains exactly one point corresponding to a simple bicuspidal geodesic. Further, each endpoint of connected component in S1 rK correspond to one simple unicuspidal geodesic and this geodesic spiral onto a simple closed curves. In the second chapter we showed all previous results.

Se denotará una superficie ponchada (i.e. una superficie cerrada menos un punto) dotada de una métrica Riemanniana completa de curvatura constante -1 y área finita. El objetivo de esta tesina es entender sus geodésicas cuspidales (i.e. que se escapan de cualquier subconjunto compacto de S), y presentar un bosquejo de la prueba de la Identidad de McShane. Las geodésicas cuspidales de S son de dos tipos: si los dos extremos se escapan de todo subconjunto compacto decimos que la geodésica es bicuspidal, y si solamente uno de sus extremos es el que se escapa entonces la llamamos unicuspidal. El conjunto de todas las geodésicas cuspidales (orientadas) está parametrizado de manera natural por un circulo S1. McShane describió las geodésicas cuspidales simples de S como subconjunto de tal S1, probando que las geodésicas unicuspidales simples corresponden a un conjunto de Cantor K _ S1 y que en cada componente conexa de S1 r K existe exactamente un punto correspondiente a una geodésica bicuspidal simple. Además, cada punto que es frontera de una componente conexa de S1 r K corresponde a una geodésica unicuspidal simple que se aproxima espiraleando a una geodésica cerrada simple. En el segundo capítulo presentamos una prueba de todos estos resultados.