Generalización del teorema de Borsuk-Ulam para variedades triangulables

Abstract

In this work we will analyze some consequences of the Borsuk-Ulam theorem, and we will give a generalization for triangulable manifolds. Our objective is recognizing the abstract elements in a specific probe of the Borsuk-Ulam theorem, and extend them as much as possible. We show some examples on how far we can use our generalization on situations where the Borsuk-Ulam theorem cannot be used.

En este trabajo inspeccionaremos un poco más a detalle el teorema de Borsuk-Ulam y daremos una generalización para variedades triangulables. Se utilizarán herramientas básicas de distintas áreas de matemáticas; todas ellas deberían ser familiares para un estudiante de licenciatura en sus últimos semestres de estudio, por lo cual puede ser comprendido por una gran cantidad de estudiantes. Se tiene como objetivo reconocer los elementos abstractos que se presentan en una prueba específica del teorema de Borsuk-Ulam, y revisar hasta donde pueden ser extendidos; específicamente respondemos a las preguntas ¿El teorema puede únicamente ser usado para Esferas? y ¿La función debe ser antipodal? Mostrando ejemplos de hasta donde es posible usar el teorema en situaciones donde Borsuk-Ulam no puede ser utilizado. Haciendo uso del concepto de variedades triangulables podemos tener acceso a herramientas de distintas áreas, dado que las triangulaciones son en realidad complejos simpliciales; los cuales, a su vez, pueden ser vistos como espacios topológicos, o como objetos combinatorios abstractos.