Soluciones exactas de la ecuación de Korteweg-De Vries

Abstract

In this work we consider the Korteweg-de Vries equation (KdV) which represents a differential equation in partial derivatives of nonlinear third order. The KdV equation has several notable aspects, for example, it has traveling wave type solutions known as solitons. Despite being a non-linear equation, the KdV equation is equivalent to two linear equations, one of which is the stationary Schrödinger equation and the other is the evolution equation. For the solution of the KdV equation, two problems are solved: direct and inverse. The direct problem solution considers the search for certain asymptotic solutions called Jost solutions from the Schrödinger equation. The inverse problem considers the problem of finding a potential that depends on time as a parameter, which is obtained through the Marchenko equation. Our work focuses on the exact solutions of the KdV equation (these solutions are obtained for the case when the reflection coefficient is zero) using the ABC method consisting of the use of three matrices through which the solution of the problem posed is found. In this work we will show some examples that allow us to see the effectiveness of the ABC method.

En el presente trabajo consideramos la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV) que representa una ecuación diferencial en derivadas parciales de tercer orden no lineal. La ecuación KdV tiene varios aspectos notables, por ejemplo, posee soluciones tipo onda viajera conocidos como solitones. A pesar de ser una ecuación no lineal, la ecuación KdV es equivalente a dos ecuaciones lineales, una de las cuales es la ecuación de Schrödinger estacionaria y la otra es la ecuación de evolución. Para la solución de la ecuación KdV se resuelven dos problemas: directo e inverso. La solución del problema directo considera la búsqueda de ciertas soluciones asintóticas llamadas soluciones de Jost de la ecuación de Schrödinger. El problema inverso considera el problema de hallar un potencial que depende del tiempo como parámetro, que se obtiene mediante la ecuación de Marchenko. Nuestro trabajo se enfoca en las soluciones exactas de la ecuación KdV (estas soluciones se obtienen para el caso cuando el coeficiente de reflexión es cero) utilizando el método ABC que consta de la utilización de tres matrices mediante las cuales se halla la solución del problema planteado. En este trabajo mostraremos algunos ejemplos que permitan ver la eficacia del método ABC.