Sobre la estabilización del péndulo invertido

Abstract

One of the peculiarities of the study of the pendulum is that various problems in various areas of physics are or can be reduced to the equations of this iconic system. A pendulum has an unstable equilibrium state in the vertical position, however, it has been theoretically and experimentally shown that, when the pendulum pivot is made to swing vertically with a high-frequency acceleration, the inverted position of the pendulum can be stabilized. In the present work, a study is made of the stability of the inverted position for when the pivot moves describing vertical, horizontal, circular, elliptical and lemniscate trajectories. Using the Lagrange formalism of classical mechanics, the motion equations of each case are found and from these, using the Landau’s method, effective potentials are generated to obtain the critical points for each case under study. The conclusions provided by the stability analysis of the critical points are validated with numerical simulations of the equations found. The inverted position of the pendulum is found to be unstable when the pivot moves horizontally, circular and along horizontal ellipses. It can be stable when the pivot moves periodically vertically, following an ellipse (depending on its eccentricity) or vertical lemniscate. When the pivot follows a horizontal lemniscate, in some cases described in this work, the inverted pendulum is also stabilized. In almost all cases, super critical bifurcations appear for certain values of the relevant parameters of the various pendulums studied, these values are determined. A generalization of what is observed in this study suggests that the inverted pendulum can be stabilized when the pivot moves by describing vertical figures that are wider in the vertical coordinate than in the horizontal coordinate.

Una de las peculiaridades del estudio del péndulo es que, varios problemas en diversas áreas de la física, están relacionados o pueden reducirse a las ecuaciones de este icónico sistema. Un péndulo tiene un estado de equilibrio inestable en la posición vertical, sin embargo, se ha mostrado teórica y experimentalmente que, cuando el pivote del péndulo se hace oscilar verticalmente con una aceleración a alta frecuencia, la posición invertida del péndulo puede estabilizarse. En el presente trabajo se realiza un estudio de la estabilidad de la posición invertida para cuando el pivote se mueve describiendo trayectorias verticales, horizontales, circulares, elípticas y de lemniscatas. Utilizando el formalismo de Lagrange de la mecánica clásica, se encuentran las ecuaciones de movimiento de cada caso y a partir de éstas, utilizando el método de Landau, se generan potenciales efectivos para obtener los puntos críticos para cada caso en estudio. Las conclusiones que proporciona el análisis de estabilidad de los puntos críticos se validan con simulaciones numéricas de las ecuaciones encontradas. Se encuentra que la posición invertida del péndulo es inestable cuando el pivote se mueve en forma horizontal, circular y a lo largo de elipses horizontales. Puede ser estable cuando el pivote se mueve periódicamente en forma vertical, siguiendo una elipse (dependiendo de su excentricidad) o lemniscata vertical. Cuando el pivote sigue una lemniscata horizontal, en algunos casos descritos en este trabajo, también se estabiliza el péndulo invertido. En casi todos los casos, aparecen bifurcaciones super críticas para ciertos valores de los parámetros relevantes de los diversos péndulos estudiados, esos valores los determinamos. Una generalización de lo que se observó en este estudio apunta a que el péndulo invertido se puede estabilizar cuando el pivote se mueve describiendo figuras verticales que sean más amplias en la coordenada vertical que en la horizontal.