Teoría de Ramsey y amenabilidad

Abstract

This project lies on the border of several branches of Mathematics. One is Set Theory, along the text the author expresses his preferences when referring to techniques, specially, the techniques used from Infinite Combinatory such as Ramsey Theory. Roughly, this document is all about the property of Amenability, which is a really desirable property for a group. In chapter one we give all of the preliminaries in order to understand this concept, we take definitions from Topology and Functional Analysis. Afterwards, we talk about a particular group, Thompson’s group, that has many intriguing features and we describe some of its properties. In the third chapter, we develop the interplay between Ramsey Theory and the space of measures, and as a consequence, we can build up a more structural frame to study Thomson’s group and more precisely, its amenability. In the fourth chapter, we study an equivalent statement to amenability which has the Ramsey flavor. In the last chapter, of course we give some conclusions and additional remarks from all of what has been done, besides, some questions are posed as a result of this work and that (to the extent of the author) are the right way to follow on a future investigation. At this point it is appropriate to mention that we hope the reader will find a comfortable reading and the most important thing that he/she has some fun and enjoys his/her travel through the pages.

Este proyecto pertenece a la frontera de muchas áreas de las matemáticas. Una es la Teoría de Conjuntos, que, a lo largo del texto el autor expresa sus preferencias en cuánto a técnicas concierne, especialmente, las técnicas prestadas de la combinatoria infinita tal como la Teoría de Ramsey. A grandes rasgos, el tema principal de este documento es la propiedad de Amenabilidad la cual es una propiedad muy deseable para un grupo. En el primer capítulo damos todos los preliminares para poder entender este concepto tomando definiciones de Topología y del Análisis Funcional. Después, hablamos acerca de un grupo muy peculiar, el grupo de Thompson, el cual tiene características muy interesantes y en este mismo capítulo mencionamos algunas de sus propiedades. En el tercer capítulo estudiamos la interacción entre la Teoría de Ramsey y los espacios de medidas, como una consecuencia podemos crear un marco adecuado y más estructurado para estudiarla amenabilidad del grupo de Thompson. En el cuarto capítulo, estudiamos una forma equivalente a la amenabilidad que tiene el sabor de la teoría de Ramsey. En el quinto y último capítulo damos algunas conclusiones que resultan de este trabajo así como preguntas que el autor considera son la manera más natural de continuar con la investigación en esta línea. En este momento es importante mencionar que esperamos que el lector disfrute su lectura y lo más importante es que esperamos que disfrute su viaje a través de las páginas.