Efecto de caos acústico en guías de ondas de cristal fonónico

Abstract

In the present work a theoretical and numerical study of chaos phenomena for phononic crystal waveguides (PnCW) of infinite and finite length is shown. Both systems are composed of parallel planar surfaces with a periodic arrangement of circular cylindrical inclusions of acoustic materials. System modes were calculated to obtain the acoustic field intensity of pressures. To approach both problems, we make use of a numerical technique known as the Integral Equation Method, which allows us to obtain a system of coupled integral equations involving as unknowns the field and its normal derivative evaluated on the surfaces involved. By discretizing the system, a set of homogeneous algebraic equations is obtained for the infinite system, whose solution determines the dispersion relation and an inhomogeneous system of algebraic equations is obtained for the finite system, where, from their solutions, the acoustic response can be obtained. These calculations were performed under the parallel programming protocol with MPI, implementing Intel MKL libraries to reduce computational times. In addition, some statistical properties of the obtained intensities were calculated; in particular, the autocorrelation function (ACF) and the correlation length. Under certain conditions the systems show disordered intensity patterns of the field; moreover, it is found that modes with higher associated frequencies correspond to lower values of the correlation length. This type of behavior is associated with the phenomena of chaos and it is well known that classical systems with analogous geometries, such as Sinai billiards, exhibit this phenomenon. With these arguments we associate our results to the phenomenon of acoustic chaos in PnCW.

En el presente trabajo se muestra un estudio teórico y numérico del fenómeno de caos acústico en guías de ondas de cristal fonónico (PnCW) de longitud infinita y finita. Ambos sistemas están compuestos por superficies planas paralelas con un arreglo periódico de inclusiones cilíndricas circulares de materiales acústicos. En los sistemas desarrollados se calcularon modos del sistema para obtener las intensidades del campo acústico de presiones. Para abordar ambos problemas, se hace uso de una técnica numérica conocida como el Método de la Ecuación Integral, que permite obtener un sistema de ecuaciones integrales acopladas que involucran como incógnitas el campo y su derivada normal evaluados en las superficies involucradas. Al discretizar el sistema, se obtiene un conjunto de ecuaciones algebraicas homogéneas para el sistema infinito, cuya solución determina la relación de dispersión y un sistema inhomogéneo de ecuaciones algebraicas para el sistema finito, donde, a partir de sus soluciones se puede obtener la respuesta acústica. Estos cálculos se realizaron bajo el protocolo de la programación en paralelo con MPI, implementando librerías de Intel MKL para reducir los tiempos de cálculo. Además, se calcularon algunas propiedades estadísticas de las intensidades obtenidas; en particular, la función de autocorrelación (ACF) y la longitud de correlación. Bajo ciertas circunstancias los sistemas muestran patrones de la intensidad del campo desordenados; además, se obtiene que a modos con frecuencias asociadas mayores le corresponden valores de la longitud de correlación menores. Este tipo de comportamiento está asociado con el fenómeno de caos y es bien sabido que sistemas clásicos con geometrías análogas, como los billares de Sinai, presentan este fenómeno. Con estos argumentos asociamos nuestros resultados al fenómeno de caos acústico en una PnCW.