Sobre una familia de polinomios matriciales tipo Hurwitz

Abstract

For the parameter α ∈ [0,∞), let h(t, α), the matrix polynomials h(t, α) and g(t, α) are matrix polynomials of the variable t in the decomposition f(t, α) = h(t2, α)+t g(t2, α) of the matrix polynomial f(t, α). In this work, we relate the family of Hurwitz-type matrix polynomials f(t, α) with a finite family of orthogonal polynomials (Pj(t, α))j⩾0 in t ∈ [0,+∞) for the parameter α ∈ [0,+∞) and their second kind polynomials (Qj(t, α))j⩾0. We also prove that any extreme solution of the truncated matrix Stieltjes moment problem can be expressed as the quotient of h(t, α) and g(t, α). As an application, we verify that a linear system of ODEs with coefficients depending on a parameter is asymptotically stable in the Lyapunov sense if and only if its characteristic polynomial can be represented by a member of a family of orthogonal polynomials and its second kind polynomial.

Para el parámetro α ∈ [0,∞), sean h(t, α) y g(t, α) polinomios matriciales de la variable t en la descomposición f(t, α) = h(t2, α) + t g(t2, α) de la matriz polinomial f(t, α). En este trabajo relacionamos la familia de polinomios matriciales tipo Hurwitz f(t, α) con una familia finita de polinomios ortogonales (Pj(t, α))j⩾0 en t ∈ [0,+∞) para el parámetro α ∈ [0,+∞) y sus polinomios de segunda especie (Qj(t, α))j⩾0. También probamos que cualquier solución extremal del problema de momentos truncados matricial de Stieltjes puede ser expresado como el cociente de h(t, α) y g(t, α). Como una aplicación, verificamos que un sistema lineal de EDO con coeficientes que dependen de un parámetro es asintóticamente estable en el sentido de Lyapunov sí y solo sí su polinomio característico admite una representación mediante un miembro de una familia de polinomios ortogonales y su polinomio de segunda especie.