Órbitas casi periódicas en el modelo de Kuno con interferencia reproductiva y en el de catálisis enzimática con suministro de sustrato e inhibidor

Abstract

In this work we present a theory that establishes sufficient conditions to guarantee the existence of at least one quasi-periodic solution in certain systems. We work on the competitive model between two species with reproductive interference proposed by Eizi Kuno in 1992, considering the coefficients as quasi-periodic functions, generalizing first the constant case, but also the periodic case. In this model we can guarantee the existence of a positive quasi-periodic orbit that corresponds to the coexistence between the two species. Now, if in Kuno's model the parameters that correspond to reproductive interference are considered equal to zero, we then find the well-known Lotka-Volterra competitive model. Then we apply to this model the results obtained in Kuno's model and we conclude as a direct corollary the existence of a positive quasi-periodic orbit. Using theoretical tools on the average of a quasi-periodic function we can prove that the Lotka-Volterra model admits at most one positive quasi-periodic solution. Such global stability in the Lotka-Volterra model with quasi-periodic coefficients had already been proved and presented by K. Gopalsamy in 1986. When comparing our global stability result with that of K. Gopalsamy we find that they are very similar and the conditions are essentially the same. However, the conditions of our result imply the conditions of Gopalsamy's Theorem but the converse does not hold. We then present another global stability result and the conditions required there do not imply the conditions of Gopalsamy's result, thus obtaining an independent result that implies global stability for certain systems that cannot be solved by Gopalsamy's Theorem. Then, two examples of Kuno systems are presented and we see that the numerical results agree with what we have obtained in theory. In the two examples of Kuno systems that we give, one can see, numerically, qualitative similarities between both systems.

En este trabajo presentamos una teoría que establece condiciones suficientes para garantizar la existencia de al menos una solución casi periódica en ciertos sistemas. Nosotros trabajamos el modelo competitivo entre dos especies con interferencia reproductiva propuesto por Eizi Kuno en 1992, considerándolos coeficientes como funciones casi periódicas, generalizando primeramente el caso constante, pero también el caso periódico. En ese modelo podemos garantizar la existencia de una órbita casi periódica positiva que corresponde a la coexistencia entre las dos especies. Ahora, si en el modelo de Kuno se consideran a los parámetros que corresponden a la interferencia reproductiva iguales a cero, nos encontramos entonces con el conocido modelo competitivo de Lotka-Volterra, entonces aplicamos a este modelo los resultados obtenidos en el modelo de Kuno y se concluye como corolario directo la existencia de una órbita casi periódica positiva. Usando herramientas teóricas sobre el promedio de una función casi periódica podemos probar que el modelo de Lotka-Volterra admite lo más una solución casi periódica positiva. Tal estabilidad global en el modelo de Lotka-Volterra con coeficientes casi periódicos ya había sido probada y presentada por K. Gopalsamy en 1986. Al comparar nuestro resultado de estabilidad global con el de K. Gopalsamy encontramos que son muy semejantes y las condiciones son esencialmente las mismas. Sin embargo, las condiciones de nuestro resultado implican las condiciones del Teorema de Gopalsamy pero el recíproco no sucede. Presentamos entonces otro resultado de estabilidad global y las condiciones ahí requeridas no implican las condiciones del resultado de Gopalsamy, obteniendo entonces un resultado independiente que implica la estabilidad global para ciertos sistemas que no pueden ser resueltos por el Teorema de Gopalsamy. Después, se presentan dos ejemplos de sistemas de Kuno y vemos que coinciden los resultados numéricos con lo que hemos obtenido en la teoría. En los dos ejemplos de sistemas de Kuno que damos, se puede ver, numéricamente, semejanzas cualitativas entre ambos sistemas.