Circular integration in the worldline formalism

Abstract

This work explores the worldline formalism as an alternative approach to standard Feynman diagram calculations in quantum field theory, particularly in quantum electrodynamics (QED). Following a historical overview of early developments in QED, including vacuum birefringence, pair production, and photon-photon scattering, this thesis introduces the mathematical framework of the worldline for calculating Nphoton amplitudes at one-loop order for systems described by either scalar or spinor QED. As demonstrated in this research, once the calculations are established for scalar QED, extending to the spinor case becomes remarkably straightforward. For readers unfamiliar with this formalism, we highlight its capacity to maintain gauge invariance and manifest symmetries through integration by parts. In this thesis, we explore novel integration techniques to tackle challenging integrals over the loop. We show how these integrals encapsulate Feynman diagrams, verifying our results by comparing them with those obtained using other formalisms. Among these new techniques, we present an innovative method that stands out for avoiding the need to partition worldline integrals into sectors. This sector division within the worldline formalism is analogous to the proliferation of Feynman diagrams in calculations within quantum field theory; our advancement is achieved through an inverse derivative expansion of the worldline integrand, which includes Hermite polynomials and Bernoulli numbers. Finally, we comprehensively study the four-photon case, presenting detailed calculations for scalar and spinor QED, considering all possible configurations using spinor helicity, and analyzing the low-energy limit. The results presented here not only advance worldline methodologies for QED processes but also establish a foundation for future applications in more complex theoretical scenarios.

Este trabajo explora el formalismo de la línea de mundo como un enfoque alternativo a los cálculos estándar de diagramas de Feynman en teoría cuántica de campos, particularmente en electrodinámica cuántica (QED). Tras una revisión histórica de los primeros desarrollos en QED, incluyendo la birrefringencia del vacío, la producción de pares y la dispersión fotón-fotón, esta tesis introduce el marco matemático del formalismo de la línea de mundo para calcular amplitudes de N-fotones a un lazo tanto en QED escalar como espinorial. Como se demuestra en esta investigación, una vez establecidos los cálculos para QED escalar, la extensión al caso espinorial resulta notablemente sencilla. Para lectores no familiarizados con este formalismo, destacamos su capacidad para preservar la invariancia gauge y manifestar simetrías mediante integración por partes. En esta tesis, exploramos técnicas novedosas de integración para abordar integrales complejas sobre el lazo. Mostramos cómo estas integrales encapsulan diagramas de Feynman, verificando nuestros resultados al compararlos con los obtenidos mediante otros formalismos. Entre estas nuevas técnicas, presentamos un método innovador que destaca por evitar la necesidad de dividir las integrales de línea de mundo en sectores. Esta división por sectores dentro del formalismo de la línea de mundo es análoga a la proliferación de diagramas de Feynman en los cálculos dentro de la teoría cuántica de campos; nuestro avance se logra mediante una expansión en derivadas inversas del integrando de la línea de mundo, que incluye polinomios de Hermite y números de Bernoulli. Finalmente, estudiamos exhaustivamente el caso de cuatro fotones, presentando cálculos detallados para QED escalar y espinorial, considerando todas las configuraciones posibles usando helicidad espinorial, y analizando el límite de baja energía. Los resultados aquí presentados no solo avanzan las metodologías de línea de mundo para procesos en QED, sino que también establecen una base para futuras aplicaciones en escenarios teóricos más complejos.