CW-complejos cuánticos finitos

Abstract

In this thesis, we introduce a notion of a finite-dimensional non-commutative CW-complex, we establish when a classical finite-dimensional CW-complex has a non-commutative version, and we present a detailed study of orientable and non-orientable classical compact surfaces and what we consider to be their non-commutative versions, which are seen as 2-dimensional quantum CW-complexes, where we prove that their K-theory is isomorphic to the classical case, apart from describing the generators of these groups. Furthermore, we study isomorphism classes of the introduced non-commutative C*-algebras for both orientable and non-orientable quantum compact surfaces, for which the Brown-Douglas-Fillmore Theory is used; this fact represents one of the most important results of this thesis. In turn, we show that every 2-dimensional CW-complex has a non-commutative version and we prove that their K-theory is isomorphic to the classical case, where the Schochet spectral sequence is used in the proof. We thus define an increasing filtration of closed ideals of these C*-algebras (both for the classical and quantum cases) and determine the first differential of such spectral sequences by detailed study of the connection homomorphisms. Finally, an analogous result is obtained for n-dimensional CW-complexes and the calculations are illustrated with important examples of finite-dimensional quantum CW-complexes.

En la presente tesis se introduce una noción de CW-complejo no-conmutativo de dimensión finita, se establece cuándo un CW-complejo de dimensión finita clásico tiene una versión no-conmutativa, además de presentar un estudio detallado de las superficies compactas clásicas orientables y no-orientables, y lo que consideramos sus versiones no-conmutativas, las cuales se ven como CW-complejos cuánticos de dimensión 2, donde probamos que estas tienen K -teoría isomorfa al caso clásico, aparte de describir los generadores de estos grupos. Más aun, se estudian las clases de isomorfismos de las C*-´algebras no-conmutativas introducidas tanto para las superficies compactas cuánticas orientables como las no-orientables, para lo cual se emplea la Teoría de Brown-Douglas-Fillmore; este hecho representa uno de los resultados más importantes de esta tesis. A su vez, demostramos que todo CW-complejo de dimensión 2 tiene una versión no-conmutativa y que su K-teoría es isomorfa al caso clásico, donde en la prueba se utiliza la sucesión espectral de Schochet. Es así como definimos una filtración creciente de ideales cerrados de estas C*-´algebras (tanto para el caso clásico como el cuántico) y determinamos el primer diferencial de dichas sucesiones espectrales mediante el estudio detallado de los homomorfismos conexión. Finalmente, un resultado análogo para los CW-complejos de dimensión n es obtenido, además de ilustrar los cálculos con ejemplos importantes de CW-complejos cuánticos de dimensión finita.