Parametrización de soluciones estacionarias mediante Ideales algebraicos en sistemas dinámicos definidos por ecuaciones diferenciales

Abstract

The thesis investigates the structure and parametrization of equilibrium points in dynamical systems defined by nonlinear differential equations, with emphasis on three-dimensional models in which the organization of the flow depends on the cardinality and stability of the stationary set. An algebraic framework based on polynomial ideals is developed to describe the solutions of f (x) = 0, enabling a detailed characterization of the location of equilibria, the variation of their spectral properties, and the qualitative transitions associated with real eigenvalue collisions and Hopf-type bifurcations. The analysis draws on the contemporary classification of attractors according to the relationship between their basins and the neighborhoods of equilibrium points, distinguishing self-excited dynamics from hidden ones, and incorporates recent results for systems with stable, unstable, infinite, or absent equilibria. Within this context, a constructive procedure is formalized in which a parameter of the Lorenz system is replaced by a quadratic rational function, producing configurations with multiple finite equilibria without altering the dimension of the system. This approach provides explicit conditions for the existence and stability of the induced equilibria, as well as for the local changes that affect the structure of invariant manifolds. The results show that the quadratic rational substitution modifies the stationary structure of the Lorenz system in a verifiable manner, generating equilibrium configurations absent from the canonical model and without direct precedent in the literature. The ideal associated with f (x) = 0 defines an affine variety on which the stationary solutions are located, allowing a precise description of their discrete placement and the variation of their number under changes in the rational parameters. These configurations arise from algebraic relations that alter local stability and produce bifurcations not present in the original system, together with counts whose parametric behavior exhibits irregularities measurable through fractal analysis.

La tesis examina la estructura y parametrización de los puntos de equilibrio en sistemas dinámicos definidos por ecuaciones diferenciales no lineales, con énfasis en modelos tridimensionales donde la organización del flujo depende de la cardinalidad y estabilidad del conjunto estacionario. Se establece un marco algebraico basado en ideales polinomiales para describir las soluciones de f (x) = 0, permitiendo caracterizar la localización de los equilibrios, la variación de su espectro y las transiciones cualitativas asociadas a colisiones de autovalores reales y bifurcaciones de tipo Hopf. El estudio se apoya en la clasificación contemporánea de atractores según la relación entre sus cuencas y las vecindades de los equilibrios, distinguiendo entre dinámicas auto-excitadas y ocultas, y en resultados recientes sobre sistemas con equilibrios estables, inestables, infinitos o ausentes. Dentro de este panorama, se integra y formaliza un procedimiento constructivo que sustituye un parámetro del sistema de Lorenz por una función racional cuadrática, produciendo configuraciones con varios equilibrios finitos sin alterar la dimensión del sistema. Este método permite determinar condiciones explícitas para la existencia de los equilibrios inducidos, su estabilidad y los cambios locales que modifican la estructura de las variedades invariantes. Los resultados muestran que la sustitución racional cuadrática modifica de manera comprobable la estructura estacionaria del sistema de Lorenz, produciendo configuraciones de equilibrio que no aparecen en el modelo original y sin antecedentes directos en la literatura. El ideal asociado a f (x) = 0 define una variedad afín en la que se ubican las soluciones estacionarias, lo que permite describir su localización discreta y la variación de su número bajo cambios en los parámetros racionales. Estas configuraciones dependen de relaciones algebraicas que alteran la estabilidad local y generan bifurcaciones ausentes en el sistema canónico, junto con conteos cuyo comportamiento paramétrico presenta irregularidades medibles mediante técnicas fractales.