Frecuencias de modos atrapados y resonancias para ondas de agua en canales infinitos

Abstract

The problem of trapped waves (non-trivial states of finite energy in infinite domains) is of great interest in several branches of mathematical physics (acoustics, quantum mechanics, hydrodynamics, electromagnetism, etc., see, p. eg, [1, 2]). The study of them in waveguides nowadays became an entire industry with a huge volume of corresponding literature. In short, their existence is due to the non-homogeneity of the guides (eg, the presence of curvature in the walls and / or obstacles in the same guide) and the appearance of the point spectrum under perturbations of the end of the continuous spectrum describing the homogeneous system. Various approaches to this problem were elaborated independently in the mentioned areas. In the context of water waves, the first example was Stokes' solution (1846, [24]) describing the "edge wave" that spreads along a steep inclined beach and Decays in the direction orthogonal to it. The second example was the problem of waves trapped by a submerged circular cylinder solved by Ursell in 1950 [25] (see also [26, 27]). In 1957, Lavrentiev conjecture that an underwater saw can guide water waves and subsequently Garipov showed that this conjecture is true (see [3]). After these sporadic publications, the number of articles devoted to this topic began to grow spectacularly. A good overview of the literature can be found in the book [4] published in 2002. More recent research can be found in the review [5] and in [6]. In the present work we study the problem of trapped water waves by a small submarine saw.

El problema de ondas atrapadas (estados no triviales de energía finita en dominios infinitos) es de gran interés en varias ramas de física matemática (acústica, mecánica cuántica, hidrodinámica, electromagnetismo, etc., ver, p. ej., [1, 2]). El estudio de ellas en guas de ondas hoy en día se convirtió en toda una industria con un volumen enorme de literatura correspondiente. En breve, su existencia se debe a la no homogeneidad de las guías (p. ej., la presencia de curvatura en las paredes y/o obstáculos en la misma guía) y la aparición del espectro puntual bajo perturbaciones del extremo del espectro continuo que describe el sistema homogéneo. Varios acercamientos a este problema fueron elaborados independientemente en las ́áreas mencionadas. En el contexto de ondas de agua, el primer ejemplo fue la solución de Stokes (1846, [24]) que describe la “onda de borde” (edge wave en inglés) que se propaga a lo largo de una playa de inclinación constante y decae en la dirección ortogonal a ella. El segundo ejemplo fue el problema de ondas atrapadas por un cilindro circular sumergido resuelto por Ursell en 1950 [25] (ver también [26, 27]). En 1957, Lavrentiev conjeturo que una sierra submarina puede guiar las ondas de agua y subsecuentemente Garipov demostró que esta conjetura es cierta (ver [3]). Después de estas publicaciones esporádicas, la cantidad de artículos dedicados a este tema empezó a crecer espectacularmente. Una buena reseña de la literatura puede ser encontrada en el libro [4] publicado en 2002. Las investigaciones más recientes pueden consultarse en la reseña [5] y en [6]. En el presente trabajo se estudia el problema de ondas de agua atrapadas por una sierra submarina de pequeña altura.