Chiral extensions of toroids

Abstract

An abstract polytope is a combinatorial object that generalises geometric structures such as convex polytopes, tilings, maps on surfaces, among others. All such structures present an inductive nature: a polygon can be regarded as a family of line segments glued along their endpoints; a polyhedron can be understood as a family of polygons glued along their edges; a tiling of the space can be thought as a family of polyhedra glued along their faces, and so on. This inductive nature is still present in the abstract notion of a polytope and rises the extension problem. Given an abstract polytope K, does there exist an abstract polytope P such that all the maximal facets of P are isomorphic to K? In this work we explore the problem when strong symmetry conditions are imposed to P. In particular, we show some original construction of chiral extensions in the situation when K is a tilling with cubes of the n-dimensional torus.

Un politopo abstracto es un objeto combinatorio que generaliza estructuras geométricas como los politopos convexos, las teselaciones del espacio, los mapas en superficies, entre otros. Todas estructuras tienen una naturaleza inductiva natural: un polígono convexo puede ser pensado como una familia de segmentos pegados por sus orillas; un poliedro es una familia de polígonos pegados a través de sus aristas; una teselación del espacio puede ser pensada como una familia de poliedros pegados a través de sus caras, etcétera. Esta naturaleza inductiva permanece en la noción abstracta de politopo. Además, da nacimiento al problema de extensiones: dado un politopo abstracto K, ¿existe un politopo abstracto P tal que todas las caras maximales de P son isomorfas a K? En este trabajo exploramos este problema cuando condiciones fuertes de simetría son impuestas sobre P. En particular, presentamos algunas construcciones originales de extensiones quirales para cuando K es una teselación con cubos del toro n-dimensional.