Generadores tóricos para el anillo de bordismo unitario ΩU

Abstract

Bordism theory has been the object of study for several years in algebraic topology, it is interesting to study manifolds with certain structures (orientation, complex structure, spin, etc.), as well as their bordism groups, and if possible, find manifolds (or representatives) that generate these groups. In the study of algebraic topology, the study of cohomology is very important, in particular, we will be interested in characteristic classes, these objects are elements of the cohomology groups (with certain coefficients) and allow us to conclude properties of the manifolds, for example, orientation and unoriented bordism for the case of the Stiefel-Whitney classes, oriented bordism for the Pontrjagin classes, independent linear sections of the bundles for the Chern classes. In order to find generators for the bordism groups, we are interested in characterizing being generators in terms of the characteristic classes, taking advantage of this characterization, we seek to restrict ourselves to manifolds where we can make simpler calculations. Focusing on manifolds with complex structure (complex bordism), it coincides that this structure also appears in bundle theory for algebraic varieties, in this case, we seek to take advantage of the extra structure that algebraic varieties are endowed with to search for generators of said bordism group. In this case, to take full advantage of the structure of algebraic varieties, we will restrict ourselves even more, we will study toric varieties, these varieties are enriched with ideal structures, combinatorics, semigroup, semigroup algebras and lattices, so it is easy to manipulate them to calculate some of its properties, for example, its characteristic classes, at this point, we will focus on the symmetric classes, these classes will be obtained through certain polynomials on the Chern classes of our manifolds, and they will help us to characterize when a manifold can be generator of our complex bordism group.

La teoría de bordismo ha sido el objeto de estudio por varios años en la topología algebraica, interesa estudiar variedades con ciertas estructuras (orientación, estructura compleja, spin, etc.), así como sus grupos de bordismo, y de ser posible, encontrar variedades (o representantes) que generen a dichos grupos. En el estudio de la topología algebraica, es muy importante el estudio de la cohomología, en particular, nos interesaran las clases características, dichos objetos, son elementos de los grupos de cohomología (con ciertos coeficientes) y nos permiten concluir propiedades de las variedades, por ejemplo, orientación y bordismo no orientado para el caso de las clases de Stiefel-Whitney, bordismo orientado para las clases de Pontrjagin, secciones linealmente de los haces independientes para las clases de Chern. Con el objetivo de encontrar generadores para los grupos de bordismo, nos interesa caracterizar el ser generadores en términos de las clases características, aprovechando esta caracterización, buscamos restringirnos a variedades donde podamos hacer cálculos más sencillos. Enfocándonos en las variedades con estructura compleja (bordismo unitario), coincide que dicha estructura aparece también en la teoría de haces para variedades algebraicas, en este caso, buscamos aprovechar la estructura extra de la que vienen dotadas las variedades algebraicas para buscar generadores de dicho grupo de bordismo. En este caso, para aprovechar completamente la estructura de variedades algebraicas, nos restringiremos aún más, estudiaremos las variedades tóricas, dichas variedades vienen enriquecidas con estructuras de ideales, combinatoria, semigrupo, algebras de semigrupo y retículas, por lo cual es sencillo manipularlas para calcular algunas de sus propiedades, por ejemplo, sus clases características, en este punto, nos enfocaremos en las clases simétricas, dichas clases las obtendremos mediante ciertos polinomios sobre las clases de Chern de nuestra variedad, y nos servirán para caracterizar cuando una variedad puede ser generador de nuestro grupo de bordismo unitario.