Procesos de justificación y demostración matemática de profesores en formación inicial

Abstract

The demonstration is a topic that is usually incorporated into in school mathematics during the study of the flat geometry, in secondary and baccalaureate. In the texts and in the classrooms introduce examples of deductive reasoning and give "demonstrations" of some propositions. This is to ensure that students know how to validate certain "properties" of frequently used geometric objects; for example, that the sum of the interior angles of any triangle is 180 o. It is also expected that students can demonstrate or solve problems using deductive processes. Several studies have shown that demonstration is a difficult subject both to teach as of learning (Godino 2002), and possibly for the same reason is not dedicated much time, in addition to that there are other subjects that are "more important" (from the of the teacher and probably of the curriculum) in which the students also have difficulties. In some cases, this topic has been programs of study. In this context Polya (2002) poses the following questions: "Why learn or teach demonstrations? What is worth more, nothing to prove, prove everything or prove in part? "(P.149) Polya answers the first question, unequivocally, referring to the student if we neglect to teach you the geometric demonstrations, ignore the best and simplest examples of the exact proof and you will lose the best occasion of his life to acquire the notion of what is a rigorous reasoning. (2002, p.150) Regarding the second question, he argues in favor of incomplete proofs as a means to present some theorems, which shows his inclination.

La demostración es un tema que generalmente se incorpora en en las matemáticas escolares durante el estudio de la geometría plana, en secundaria y bachillerato. En los textos y en las aulas se introducen ejemplos de razonamiento deductivo y se dan “demostraciones” de algunas proposiciones. Con esto se persigue que los estudiantes conozcan cómo se validan ciertas “propiedades” de los objetos geométricos de uso frecuente; por ejemplo, que la suma de los ángulos interiores de cualquier triangulo es 180°. También se espera que los estudiantes puedan realizar algunas demostraciones o resolver problemas utilizando procesos deductivos. Diversos estudios han mostrado que la demostración es un tema difícil tanto de enseñar como de aprender (Godino 2002), y posiblemente por lo mismo no se le dedica mucho tiempo, además de que hay otros temas que son “más importantes” (desde la perspectiva del docente y probablemente del currículo) en los que los alumnos también tienen dificultades. En algunos casos se ha llegado a excluir o reducir excesivamente este tema de los Programas de estudio. En este contexto Polya (2002) plantea las siguientes preguntas: “¿Por qué aprender o enseñar las demostraciones? ¿Qué vale más, nada demostrar, demostrarlo todo o demostrar en parte?”(p.149) Polya contesta la primera interrogante, inequívocamente, refiriéndose al estudiante si descuidamos el enseñarle las demostraciones geométricas, ignorar ́a los mejores y más sencillos ejemplos de la demostración exacta y perderá la mejor ocasión de su vida para adquirir la noción de lo que es un razonamiento riguroso. (2002, p.150) Respecto a la segunda interrogante, argumenta en favor de las demostraciones incompletas como un medio para presentar algunos teoremas, lo cual muestra su inclinación.