Qualitative bifurcation diagrams

Abstract

This thesis explores the use of qualitative reasoning to predict the behavior of a dynamical system given a change in one of its parameters based upon a qualitative representation of its bifurcation diagram. Three algorithms were developed to perform this task. The first algorithm captures the essential characteristics of the bifurcation diagram in quantitative terms, and translates it into a qualitative representation of the system. The second one uses the qualitative representation obtained from the first algorithm to simulate the behavior of the system given a sequence of parameter adjustments or perturbations. The third algorithm solves the opposite, control problem: it determines what parameters to change to take the system from an initial to a given goal state. The first algorithm segments a quantitative bifurcation diagram into Monotonic Segments (MSs) having the same qualitative behavior (same nature and behavior). These MSs are then interconnected into a transition network. The network is used by the other two algorithms to simulate and plan the behavior of the system from an initial situation. Several examples illustrate the qualitative representations and the behaviors of the simulation and planning algorithms for dynamical systems of one parameter.

En esta tesis se explora el uso del razonamiento cualitativo para la predicción del comportamiento de un sistema dinámico al variar uno de sus parámetros, basado en una representación cualitativa del diagrama de bifurcación. Tres algoritmos fueron desarrollados para la realización de esta tarea. El primer algoritmo captura las características fundamentales del diagrama de bifurcación y las traslada a una representación cualitativa. El segundo algoritmo utiliza la representación cualitativa obtenida del primer algoritmo y realiza la simulación del comportamiento del sistema, dada una secuencia de variaciones en uno de sus parámetros. El tercer algoritmo resuelve el problema opuesto, determina la variación del parámetro partiendo de un estado inicial para llegar a uno final. El primer algoritmo descompone el diagrama en Segmentos Monotónicos (MSs), donde los puntos que conforman a estos segmentos tienen el mismo comportamiento cualitativo (misma naturaleza y comportamiento). Estos MSs son conectados a una red de transiciones. Esta red es utilizada como la principal herramienta de los algoritmos de simulación y planeación. Finalmente se presentan algunos ejemplos que ilustran la representación cualitativa, así como el comportamiento de los algoritmos de simulación y planeación para sistemas dinámicos de un parámetro.