Modelado de respuestas dinámicas de sistemas usando descomposición armónica: aplicación a series de tiempo

Abstract

In this thesis work a harmonic decomposition methodology is proposed and implement to model responses of dynamic systems. The mathematical models presented are of the univariable and multivariable type, which are formulated in a state space based on an analysis of signals and Fourier series, which constitutes one of the distinguishing characteristics of this thesis work, that is, obtaining of a dynamic model in space of states of a signal. For the modeling, a preprocessing is initially carried out seeking to obtain a better computational performance, using a smoothing of moving average and an analysis by means of the fast Fourier transform, with the aim of knowing and selecting the harmonic content that most contributes to the representation of the time series as well as to reduce the noise present in the signal. Subsequently, based on the most representative harmonic content, a definition of variables is made, and consequently the structure of the model in state space is formulated, which has the property of being a time-varying linear system, and is used for the design of an optimal state observer (Kalman-Bucy filter), which in this thesis is called optimal harmonic observer. Once the observer converges and the states remain constant, the parameters corresponding to amplitudes and phases of the spectral content are obtained through algebraic relationships of the state variables, and in this way there is a mathematical model that represents the signals. Finally, the model is used for forecasting applications, at different time intervals. The signals or responses to be analyzed are time series from real observations of different climate variables and bioelectrical signals from the human brain.

En este trabajo de tesis se propone e implementa una metodología de descomposición armónica para modelar respuestas de sistemas dinámicos. Los modelos matemáticos presentados son del tipo univariable y multivariable, los cuales se formulan en espacio de estados a partir de un análisis de señales y series de Fourier, lo que constituye una de las características distintivas de este trabajo de tesis, esto es, la obtención de un modelo dinámico en espacio de estados de una señal. Para el modelado, inicialmente se realiza un pre-procesamiento buscando obtener un mejor rendimiento computacional, usando un suavizado de media móvil y un análisis mediante la transformada rápida de Fourier, con el objetivo de conocer y seleccionar el contenido armónico que más contribuye a la representación de las series de tiempo, así como para reducir el ruido presente en la señal. Posteriormente, basándose en ese contenido armónico más representativo, se hace una definición de variables, y en consecuencia se formula la estructura del modelo en espacio de estados, que tiene la propiedad de ser un sistema lineal variante en el tiempo, y es usado para el diseño de un observador óptimo de estados (filtro de Kalman-Bucy), que en esta tesis es llamado observador óptimo de armónicos. Una vez que el observador converge y los estados se mantienen constantes, se obtienen los parámetros correspondientes a amplitudes y fases del contenido espectral mediante relaciones algebraicas de las variables de estado, y de esta forma se tiene un modelo matemático que representa a las señales. Finalmente, el modelo es utilizado para aplicaciones de pronóstico, en diferentes intervalos de tiempo. Las señales o respuestas a analizar son series de tiempo provenientes de observaciones reales de diferentes variables del clima y de señales bioeléctricas provenientes del cerebro humano.