Espacios topológicos de Ramsey e idelaes borelianos

Abstract

Ramsey theory studies the conditions that must be imposed to a structure in order to guarantee the existence of homogeneous substructures. To do that, several structures and several colorings have been studied, including infinite dimensional colorings. Ellentuck’s theorem states the optimal conditions to guarantee an infinite dimensional Ramsey theorem and Ramsey spaces are a generalization of the Ellentuck space. We are interested in studying Ramsey spaces because several σ-closed partial orders are forcing equivalent to a topological Ramsey space. In addition, in recent years Ramsey space theory has shown to be crucial to investigate combinatorial properties of those partial orders and the ultrafilters forced by them. In this work we investigate Ramsey degrees for several classes of topological Ramsey spaces. As result of this we calculate Ramsey degrees for several ultrafilters. By using an abstract version of the Nash-Williams theorem we develop a general method to calculate Ramsey degrees. Some of the degrees we calculated were already known but our method provides streamlined and direct proofs. It is known that Ramsey spaces and selective ultrafilters are closely related.

La teoría de Ramsey estudia las condiciones que se deben cumplir para que una estructura dada tenga subestructuras homogéneas. Dentro de esta teoría se han buscado teoremas tipo Ramsey para estructuras muy diversas y también para coloraciones de diferentes dimensiones incluida la dimensión infinita. El teorema de Ellentuck es el enunciado que establece las condiciones óptimas para tener un teorema de Ramsey de dimensión infinita y los espacios de Ramsey son una generalización del espacio de Ellentuck. Una de las razones por las que estudiamos los espacios de Ramsey es porque muchos órdenes parciales ?-cerrados son equivalentes como forcing a algún espacio topológico de Ramsey. Además, en años recientes la teoría de espacios de Ramsey ha demostrado ser crucial para investigar las propiedades combinatorias de esos órdenes parciales y de los ultrafiltros que fuerzan. En este trabajo investigamos los grados Ramsey de diferentes espacios topológicos de Ramsey y como consecuencia calculamos los respectivos grados de los ultrafiltros genéricos. Parte de esta investigación consistió en usar la versión abstracta del teorema de Nash-Williams para desarrollar un método general que sirve para calcular grados Ramsey. Algunos de los grados que calculamos ya se conocían, pero con nuestro método obtuvimos pruebas más directas y simples que las originales. Se sabe que existe una relación fuerte entre los espacios de Ramsey y los ultrafiltros selectivos. Esta relación se ha explorado de diferentes formas y en este trabajo probamos que cada espacio de Ramsey que satisface los axiomas definidos por Todorcevic fuerza un ultrafiltro selectivo. Otro objetivo de este trabajo es clasificar los ideales Borelianos que tienen la propiedad de que la colección de conjuntos positivos es equivalente como forcing a un espacio topológico de Ramsey.