Invariantes cardinales generalizados en dos parámetros

Abstract

The work presented here is divided into three chapters. In the first chapter we focused on establishing the notation that we will use throughout the text, which is standard [2, 1], as well as introducing some results and definitions that will serve as a guide for the development of later work. For example, we will talk about the cardinal invariants of the continuum, both for the countable case, and its generalization to uncountable cardinals. All this with the aim of making the text as self-contained as possible. It should be noted that in this chapter we will not offer proofs of the results to be mentioned, so the reader is suggested to go to the recommended references to find them. In the second chapter we introduce the generalization of some cardinal invariants to two parameters, offering some basic results that will limit their size. Using the Erdös-Rado theorem, we will obtain a lower bound for the cardinal s(k+, (2k)+), a result that will be very useful for the next chapter. We will finish this chapter with the study of cardinal invariants in two parameters for the case cf(λ) = k. Finally, in chapter three, we will study the cardinal s’(k, λ) a little more thoroughly. We will introduce a new cardinal, s’(k, λ) and, with its help, we will be able to obtain s(k+, k++) = k++ by requiring k to have certain conditions on its cardinal arithmetic. From this we will obtain as a corollary that the cardinal s(N1, N2) only depends on whether or not we assume CH.

El trabajo aquí presentado está dividido en tres capítulos. En el primer capítulo nos enfocamos en establecer la notación que usaremos en lo largo del texto, la cual es estándar [2, 1], como también, introduciremos algunos resultados y definiciones que nos servirán de guía para el desarrollo del trabajo posterior. Por ejemplo, hablaremos de los invariantes cardinales del continuo, tanto para el caso numerable, como su generalización a cardinales no numerables. Todo esto con el afán de hacer el texto lo mejor autocontenido posible. Cabe resaltar que en este capítulo no ofreceremos pruebas de los resultados a mencionar, por lo que se le sugiere al lector ir a las referencias recomendadas para encontrarlas. En el segundo capítulo introducimos la generalización de algunos invariantes cardinales a dos parámetros, ofreciendo algunos resultados básicos que acotarán su tamaño. Haciendo uso del teorema de Erdös-Rado, obtendremos una cota inferior para el cardinal s(k+, (2k)+), resultado que nos será muy útil para el capítulo siguiente. Terminaremos este capítulo con el estudio de los invariantes cardinales en dos parámetros para el caso cf(λ) = k. Para finalizar, en el capítulo tres, estudiaremos un poco más a fondo al cardinal s(k, λ). Introduciremos un cardinal nuevo, s’(k, λ) y, con ayuda de este, lograremos obtener s(k+, k++) = k++ al exigirle a ciertas condiciones sobre su aritmética cardinal. De esto obtendremos como corolario que el cardinal s(N1, N2) solo de pende de si asumimos, o no, CH.