Indivisibilidad de espacios de Urysohn

Abstract

In this work the proof is developed that for each n ∈ ω\0, Un is indivisible, following Sauer’s proof in [6]. In the first chapter a brief introduction to Fraïssé limits is presented, emphasizing the fact that this exposition is brief since it is not the objective to carry out a detailed study of these concepts, rather the objective of this chapter is to give definitions necessary to understand the rest of the text and present Fraïssé’s theorem, with its help the Urysohn spaces are defined. In the second chapter the concept of Urysohn space is introduced, to achieve it we proceed by proving the Delhommé-Laflamme-Pouzet-Saver theorem which verifies that certain sets of distances S the class of finite metric spaces with distances in S is a class of Fraïssé. Finally, in the third chapter (whose results are obtained from [6]) we begin by defining the concept of type functions, which are functions that encode new points for a finite space in the sense that they are functions of the finite space in the set of distances, so there are points in the respective Urysohn space whose distance from the finite space is that dictated by the function, the set of points that satisfies this is known as the orbit of the type function and the first part of the chapter is based on study these orbits. In the second section we restrict the study to spaces with distances in a natural number, the concept of extensibility of a function in a set is defined, whose central idea is that a function is extensible in a set if said set constitutes a large part of its orbit.

En este trabajo se desarrolla la demostración de que para cada n ∈ ω \ {0}, Un es indivisible, siguiendo la demostración de Sauer en [6]. En el primer capítulo se presenta una breve introducción a los límites de Fraïssé, enfatizando en el hecho de que esta exposición es breve ya que no es el objetivo realizar un estudio minucioso de estos conceptos, más bien el objetivo de este capítulo es el de dar definiciones necesarias para entender el resto del texto y presentar el teorema de Fraïssé, con ayuda de este último se definen más adelante los espacios de Urysohn. En el segundo capítulo se introduce el concepto de espacio de Urysohn, para conseguirlo se procede demostrando el teorema de Delhommé-Laflamme-Pouzet-Saver con ayuda del cual se verifica que para ciertos conjuntos de distancias S la clase de espacios métricos finitos con distancias en S es una clase de Fraïssé. Por último en el tercer capítulo (cuyos resultados son obtenidos de [6]) se comienza definiendo el concepto de funciones tipo, que son funciones que codifican puntos nuevos para un espacio finito en el sentido que son funciones del espacio finito en el conjunto de distancias, por lo que existen puntos en el respectivo espacio de Urysohn cuya distancia al espacio finito es la dictada por la función, al conjunto de puntos que satisface esto se le conoce como la órbita de la función tipo y la primera parte del capítulo se basa en estudiar dichas órbitas. En la segunda sección restringimos el estudio a espacios con distancias en un número natural, se define el concepto de extensibilidad de una función en un conjunto, cuya idea central es que una función es extensible en un conjunto si dicho conjunto constituye una gran parte de su órbita.