To complete the work, we begin by defining the algebraic structures we are going to need. 1. Definitions. A monoid is a terna (M,, 1), in which M is any set; The function: M-> is associative (that is, for all my ? M we have m1 (m2 m3) = (m1 m2) m3, and therefore there is no need to use parentheses), by the way, when we are using To denote the operation in the monomial, we call it multiplication; Finally, 1 is an element of M which has the following property: For all m ? M, 1 m = m 1 = m. To refer to this property, we say that 1 is (neutral) under multiplication. A group is a particular class of monoid, say (G,, 1), where we also ask that each element of G has an inverse, ie: For every g ? G exists in G an element, denoted g-1 such that G g-1 = g-1 g = 1. When the group operation is commutative, ie g1 g2 = g2 g1 for all g1, g2 ? G, then we say that the group is abelian and we change from the notation (G,, 1) to the notation (G, +, 0 ). A ring is a quinter (R, +, 0, 1) in which (R, +, 0) is an abelian group, (R \ {0},, 1) is a monoid and there are rules of coexistence between Two structures, which many people know as distributive laws r1 (r2 + r3) = (r1 r2) + (r1 r3); (R1 + r2) r3 = (r1 r3) + (r2 r3) A field is a special class of rings, say (F, +, 0,, 1) where (F \ {0},, 1) is not just a monoid, but a group.
Para completez del trabajo, comenzamos definiendo las estructuras algebraicas que vamos a necesitar. 1. Definiciones. Un monoide es una terna (M, ,1), en la que M es un conjunto cualquiera; la función : M-> es asociativa (esto es, para todas mi ? M se tiene que m1 (m2 m3) = (m1 m2) m3, y por lo tanto no hay necesidad de usar paréntesis), por cierto, cuando estamos usando para denotar la operación en el monomio, le llamamos multiplicación; finalmente, 1 es un elemento de M que tiene la siguiente propiedad: Para toda m ? M, 1 m = m 1= m. Para referirnos a esta propiedad, decimos que el 1 es (el) neutro bajo la multiplicación. Un grupo es una clase particular de monoide, digamos (G, , 1), en donde, además pedimos que cada elemento de G tenga inverso, es decir: Para todo g ? G existe en G un elemento, denotado g-1 tal que g g-1 = g-1 g=1. Cuando la operación del grupo es conmutativa, es decir g1 g2 = g2 g1 para toda g1, g2 ? G, entonces decimos que el grupo es abeliano y cambiamos de la notación (G, , 1) a la notación (G, +, 0). UN anillo es una quintera (R, +, 0, ,1) en la que (R, +,0) es un grupo abeliano, (R\{0}, ,1) es un monoide y existen reglas de convivencia entre las dos estructuras, que mucha gente conoce como las leyes distributivas r1 (r2 + r3) = (r1 r2) + (r1 r3); (r1 + r2) r3= (r1 r3) + (r2 r3) Un campo es una clase especial de anillos, digamos (F, +, 0, ,1) en la que (F\{0}, ,1) no es solo un monoide, sino un grupo.
