Hiperespacios de espacios topológicos y pseudocompacidad

Abstract

When defining a topological space from some other or some others, it is natural to ask what properties inherits the new space with respect to the space that originates it or even if the induced space allows better study of the original topological space. Ernest Michael performs a work of this form and approaches in Topologies on spaces of subsets a great variety of properties that meets the hyperspace of a topological space from the properties that the latter keeps or vice versa, showing in particular the equivalence that both spaces With respect to the compactness property. Once established the previous equivalence, the next is to study the behavior of a space and its hyperspace with respect to some properties weaker than compactness. In the article some results on the countable compactness and pseudocompactness of hyperspaces, John Ginsburg makes an interesting study about some of these properties and the relation that a topological space and its hyperspace have with respect to them. In particular, he is interested in the behavior of powers of a space and its hyperspace. From these results, it raises a couple of questions about the behavior of the countable product of a space and hyperspace. From these results, it raises a couple of questions about the behavior of the countable product of a space and the hyperspace of the same with respect to the properties of countable compactness and pseudocompacity, being these questions, and in particular the one corresponding to the property of pseudocompacity, The main motivation for the development of this work. In Chapter 1 we present some basic results that relate a space to its hyperspace. In particular, we present the relation to the separation axioms and equivalence that preserve both spaces with respect to the property of compactness and local compactness.

Cuando se define un espacio topológico a partir de algún otro o algunos otros, resulta natural preguntarse qué propiedades hereda el nuevo espacio respecto del espacio que lo origina o incluso si el espacio inducido permite estudiar mejor al espacio topológico original. Ernest Michael realiza un trabajo de esta forma y aborda en Topologies on spaces of subsets una gran variedad de propiedades que cumple el hiperespacio de un espacio topológico a partir de las propiedades que guarda este último o viceversa, mostrando en particular la equivalencia que guardan ambos espacios respecto de la propiedad de compacidad. Establecida entonces la equivalencia anterior, lo siguiente es estudiar el comportamiento que guardan un espacio y su hiperespacio respecto de algunas propiedades más débiles que compacidad. En el artículo some results on the countable compactness and pseudocompactness of hyperspaces, John Ginsburg hace un estudio interesante acerca de algunas de estas propiedades y la relación que guardan un espacio topológico y su hiperespacio respecto de ellas. En particular, se interesa por el comportamiento de potencias de un espacio y de su hiperespacio. A partir de tales resultados, plantea un par de preguntas acerca del comportamiento del producto numerable de un espacio y del hiperespacio. A partir de tales resultados, plantea un par de preguntas acerca del comportamiento del producto numerable de un espacio y del hiperespacio del mismo respecto de las propiedades de compacidad numerable y pseudocompacidad, siendo dichas preguntas, y en particular la correspondiente a la propiedad de pseudocompacidad, la motivación principal para el desarrollo del presente trabajo. En el capítulo 1 exponemos algunos resultados básicos que relacionan a un espacio con su hiperespacio. En particular, se presenta la relación respecto a los axiomas de separación y la equivalencia que preservan ambos espacios respecto de la propiedad de compacidad y compacidad local.