This paper is divided into four chapters. Chapter 1 gives definitions, conventions and notations as well as some results that will be used throughout the work. In Chapter 2 we will study and develop the combinatorial language that lies behind Frechet's property in topological spaces. With this language, which we will use throughout our work, we will address Malykhin's question. Also in this chapter Frechet's concept is analyzed through the α i-properties of A. V. Arhangel'ski ı. For example, that these properties are distinguished from each other in Frechet's class of spaces countable, although two of them can only be consistently distinguished. Finally, the chapter concludes with some relationships between certain a i -properties and some infinite topological games. With the elements developed in Chapter 2, Chapter 3 examines the numerable topological groups under the ownership of Frechet and the a i -properties. Going through a certain class of boolean countable topological groups, two consistent examples are given to Malykhin's question of type boolean. Namely, that under the following conditions there are examples for this question. P>ω 1 (Nyikos [1992]) p=b. Finally, in Chapter 4 we analyze Malykhin's problem as a problem of cracks in P (ω). Thus, since OCA has a great influence on the structures of cracks in P (ω), then in the chapter we develop all this influence, and then have elements to propose certain axioms of "forcing," under which we hope that Malykhin's question have an answer in the negative sense, and with this get that question is independent of ZFC.
El presente trabajo está dividido en cuatro capítulos. En el Capítulo 1 se dan las definiciones, convenciones y notaciones as ́ı como algunos resultados que se usarán a lo largo de todo el trabajo. En el Capítulo 2 nos dedicaremos a estudiar y desarrollar el lenguaje combinatorio que se encuentra detrás de la propiedad de Frechet en espacios topológicos. Con este lenguaje, el cual usaremos a lo largo todo el trabajo, abordaremos la pregunta de Malykhin. También en este capítulo se analiza el concepto de Frechet a través de las α i -propiedades de A. V. Arhangel’skiˇı. Mostrando por ejemplo, que estas propiedades se distinguen entre sí en la clase de espacios de Frechet numerables, aunque dos de ellas sólo se puedan distinguir consistentemente. Finalmente, se concluye el capítulo con algunas relaciones que hay entre ciertas α i -propiedades y algunos juegos topológicos infinitos. Con los elementos desarrollados en el Capítulo 2, en el Capítulo 3 se estudian los grupos topológicos numerables bajo la propiedad de Frechet y las α i -propiedades. Pasando por cierta clase de grupos topológicos booleanos numerables, se dan dos ejemplos consistentes a la pregunta de Malykhin del tipo booleano. A saber, que bajo las siguientes condiciones existen ejemplos para esta pregunta. p>ω 1 (Nyikos [1992]) p=b Finalmente, en el Capítulo 4 analizamos el problema de Malykhin como un problema de grietas en P(ω). As ́ı, dado que OCA tiene una gran influencia en las estructuras de grietas en P(ω), entonces en el capítulo pasamos a desarrollar toda esta influencia, para después tener elementos para proponer ciertos axiomas de “forcing”, bajo los cuales tenemos la esperanza de que la pregunta de Malykhin tenga una respuesta en el sentido negativo, y con esto obtener que tal pregunta es independiente de ZFC.
