Un conjunto de Sidón denso

Abstract

A set of positive integers is a set of Sidon and the sums of any two elements of S are distinct. For example, the set of powers of 2 is a set of Sidon infinite. These assemblies in the 1930s in the context of harmonic analysis thanks to the work of Simon Sidon (see [7]), who brought to the attention of Paul Erdós on these sets and since then have been of particular interest in number theory and combinatorial. We are interested in the cardinality of the joint mayor of Sidon contained in the interval [1, x]. For a set S of positive integers, the counting function of the set S is S (x): = ? #S ? [1, x]. It is known that if it is a set of Sidon, S (x) ~ x. A good reference on this and other results on sets of Sidon is [5]. Using the miserly algorithm (greedy algorithm) we can construct a set of Sidon with Count Function 1 x 3. This result may improve. I. Ruzsa constructed a set of Sidon with counting function x ? 2-1 + or (1), while x tends to infinity 1 in [6]. Its construction is based on the fact that prime numbers are a set of multiplicative Sidon for integers; the set of its logarithms is a set of Sidon additive of real numbers and an appropriate rounding of them from a set of Sidon of integers. In this work, following the ideas of Ruzsa construction, build a set of Sidon with the same function of count we consider the arguments of the Gaussian cousins (the primes in Z [i]) not real. This sequence is bounded, which simplifies construction. Some technical dimensions that appear in the Ruzsa article they are shown geometrically.

Un conjunto de enteros positivos S es un conjunto de Sidón si las sumas de cualesquiera dos elementos de S son distintas. Por ejemplo, el conjunto de las potencias de 2 es un conjunto de Sidón infinito. Estos conjuntos aparecieron en los años 30 en el contexto del análisis armónico gracias al trabajo de Simón Sidón (ver [7]), quien llamó la atención de Paul Erd ?os sobre estos conjuntos y desde entonces han sido de particular interés en teoría de números y combinatoria. Estamos interesados en la cardinalidad del mayor conjunto de Sidón contenido en el intervalo [1, x]. Para un conjunto S de enteros positivos, la función de conteo del conjunto S es S(x):= ? #S ? [1, x]. Se sabe que si S es un conjunto de Sidón, S(x) ? x. Una buena referencia sobre este y otros resultados sobre conjuntos de Sidón es [5]. Utilizando el algoritmo avaro (greedy algorithm) podemos construir un conjunto de Sidón con función de conteo 1 x 3. Este resultado se puede mejorar. I. Ruzsa construyó un conjunto de Sidón con función de conteo x ? 2?1+o (1), mientras x tiende al infinito 1 en [6]. Su construcción se basa en el hecho de que los números primos son un conjunto de Sidón multiplicativo para los enteros; el conjunto de sus logaritmos es un conjunto de Sidón aditivo de números reales y un redondeo apropiado de ellos da un conjunto de Sidón de enteros. En este trabajo, siguiendo las ideas de la construcción de Ruzsa, construiremos un conjunto de Sidón con la misma función de conteo. Consideramos los argumentos de los primos gaussianos (los primos en Z[i]) no reales. Esta sucesión es acotada, lo que simplifica la construcción. Algunas cotas técnicas que aparecen en el artículo de Ruzsa se demuestran de manera geométrica.