El Teorema de determinación de Martin y algunas aplicaciones

Abstract

This paper presents for the first time in a single volume everything necessary to develop a demonstration of Martin's theorem and some classical applications of this theorem; for example, to prove that all Borelian of a Polish space without isolated points has the property of the perfect set (consequently it is the most countable or has the same cardinality as R) and other not so classic, as to give a characterization of selective ultrafilters. In all cases always making a presentation accessible to readers with basic knowledge in theory of sets and topology. Another contribution that we make in this thesis is to prove some facts in another theory: ZF + AD that can be proved consistent if the existence of large cardinals is accepted. We study the incompatibility of AD and AC and show consequences of AD such as the fact that in this theory every subset of real numbers is measurable according to Lebesgue. In the first chapter we introduce concepts and results that we will use throughout the present work, such as Polish spaces and some of their properties, the hierarchy of Borelian sets, analytic sets, coanalytic sets and trees. We will show results such as Lusin's separation theorem and Suslin's theorem. In the second chapter we introduced the concepts of determining infinite games between two people with perfect information, we will test the result of Gale-Stewart about of the determination of closed and open games. In this chapter we will talk about the first test given by Donald A. Martin on the determination of the Borelian sets and finally we will present in detail a demonstration of this result.

En este trabajo se presenta por primera vez en un sólo volumen todo lo necesario para desarrollar una demostración del teorema de Martín y algunas aplicaciones clásicas de este teorema; por ejemplo, probar que todo boreliano de un espacio polaco sin puntos aislados tiene la propiedad del conjunto perfecto (consecuentemente es a lo más numerable o tiene la misma cardinalidad que R) y otras no tan clásicas, como dar una caracterización de ultrafiltros selectivos. En todos los casos siempre haciendo una presentación accesible a lectores con conocimientos básicos en teoría de conjuntos y topología. Otra contribución que hacemos en esta tesis, es la de probar algunos hechos en una otra teoría: ZF+AD que puede probarse consistente si se acepta la existencia de cardinales grandes. Se estudia la incompatibilidad de AD y AC y se presentan consecuencias de AD tales como el hecho de que en esta teoría todo subconjunto de números reales es medible según Lebesgue. En el primer capítulo introducimos conceptos y resultados que utilizaremos a lo largo del presente trabajo, tales como espacios polacos y algunas de sus propiedades, la jerarquía de los conjuntos borelianos, conjuntos analíticos, conjuntos coanalíticos y árboles. Mostraremos resultados importantes como el teorema de separación de Lusin y el teorema de Suslin. En el segundo capítulo introdujimos los conceptos de determinación de juegos infinitos entre dos personas con información perfecta, probaremos el resultado de Gale-Stewart que trata acerca de la determinación de juegos cerrados y abiertos. En este capítulo hablaremos acerca de la primera prueba que dio Donald A. Martin sobre la determinación de los conjuntos borelianos y finalmente presentaremos con detalles una demostración de este resultado.