El formalismo lagrangiano de la teoría clásica de campos

Abstract

The symplectic geometry perfectly frames the Lagrangian and Hamiltonian mechanics in the sense that once you specify the configuration space for a system physical, all the dynamics can be determined from a Lagrangian or a Hamiltonian. This dynamic can be found in several ways, for example, by solving a variational problem, integrating the equations of motion or, from a more geometric, using the symplectic form that is canonically defined on the cotangent beam of the configuration space. However, any of these ways is equivalent to the others (this can be seen in much detail in [Ar, AM]) and this is precisely what a geometric understanding of the whole formulation of mechanics. One of the objectives of this work will be to present this geometric vision in the classical field theory. For example, in Lagrangian mechanics, once the configuration space Q of a physical system (which is a differentiable manifold) is identified, one takes the space of states T Q as the tangent beam over Q. Thus, if (q 1, ..., q n) represent the degrees of system (and therefore the coordinates of Q), a state is determined by a point in T Q whose coordinates are "positions" and "velocities" (q 1, ..., q n, q ? 1, ..., q ? n). Moreover, the dynamics of the system will be determined by a Lagrangian function L: T Q → R to find the extreme values of the action she defines. Then, to characterize a mechanical system is sufficient to specify a configuration space and a Lagrangian function.

La geometría simpléctica enmarca perfectamente a la mecánica lagrangiana y hamiltoniana en el sentido que una que vez que se especifica el espacio de configuración para un sistema físico, toda la dinámica se puede determinar a partir de un lagrangiano o de un hamiltoniano. Dicha dinámica puede encontrarse de varias formas, por ejemplo, solucionando un problema variacional, integrando las ecuaciones de movimiento o, desde una perspectiva más geométrica, usando la forma simpléctica que se define canónicamente sobre el haz cotangente del espacio de configuración. Sin embargo cualquiera de estas maneras es equivalente a las otras (esto puede verse con mucho detalle en [Ar, AM]) y es justamente esto lo que potencia un entendimiento geométrico de toda la formulación de la mecánica. Uno de los objetivos de este trabajo ser ́a presentar esta visión geométrica en la teoría clásica de campos. Por ejemplo, en la mecánica lagrangiana, una vez que se identifica el espacio de configuración Q de un sistema físico (el cual es una variedad diferenciable) uno toma el espacio de estados T Q como el haz tangente sobre Q. Así, si (q 1 , . . . , q n ) representan los grados de libertad del sistema (y por tanto las coordenadas de Q), un estado queda determinado por un punto en T Q cuyas coordenadas son “posiciones” y “velocidades” (q 1 , . . . , q n , q ̇ 1 , . . . , q ̇ n ). Más aún la dinámica del sistema quedará determinada por una función lagrangiana L: T Q → R al encontrar los valores extremales de la acción que ella define. Entonces, para caracterizar un sistema mecánico basta especificar un espacio de configuración y una función lagrangiana.