Elementos finitos para problemas elípticos e hiperbólicos en una dimensión espacial

Abstract

In this paper we study the types of problems in a spatial dimension: elliptic and hyperbolic. We bring to the solution of these problems, where we can find a solution in a space of Hilbert X, and approach the solution by expanding it in terms of a set of linear functions to pieces and nonzero only in a small subset of definition interval, where the method takes the name of finite elements. It is an important task to verify if the solution of the method that is obtained when using finite elements converges to the exact solution of the weak problem and an order that does. Then in this work we try to estimate and control the error of the solution of the problem that is in X with the respect of the approximate solution, which is in Xn C X. Important element in the process of the estimation of the error, is the Introduction of the interpolation of the solution in X for the weak problem. Interpolation is a key and fundamental piece in the demonstration of convergence and estimation of errors in our numerical method. In Chapter 2 of this thesis we deal with the elliptic problem in one dimension. Once defined precisely along with the conditions of the Dirichlet-type boundary, proceed to the formulation of the problem corresponding to an elliptic problem, where the solution for the formulation is in a space of Hilbert X. The data that make up the problem Elliptic in its primitive form, also the source of the original problem helps us to construct a functional line that along with the motto of Riesz [6] will help us to show the existence and uniqueness of the solution in Hilbert space.

En este trabajo estudiamos dos tipos de problemas en una dimensión espacial: elíptico e hiperbólico. Llevamos a su formulación débil estos problemas, en donde podremos encontrar una solución en un espacio de Hilbert X, y aproximamos a la solución expandiéndola en términos de un conjunto de funciones lineales a trozos y distintas de cero solamente en un subconjunto pequeño de intervalo de definición, de donde el método toma el nombre de elementos finitos. Es tarea importante comprobar si la solución del método que se obtiene al usar elementos finitos converge a la solución exacta del problema débil y a que orden lo hace. Entonces en este trabajo buscamos estimar y controlar el error de la solución del problema débil que se encuentra en X con respecto de la solución aproximada, la cual se encuentra en Xn C X. Elemento importante en el proceso de la estimación del error, es la introducción de la interpolante de la solución en X para el problema débil. La interpolante es pieza clave y fundamental en la demostración de la convergencia y estimación de los errores en nuestro método numérico. En el capítulo 2 de este trabajo de tesis nos ocupamos del problema elíptico en una dimensión. Una vez definido de forma precisa junto con condiciones de frontera tipo Dirichlet, procedemos a formular el problema débil correspondiente al problema elíptico, en donde la solución para esta formulación se encuentran en un espacio de Hilbert X. Vemos como el producto escalar queda definido mediante los datos que componen el problema elíptico en su forma primitiva, también la fuente del problema original nos ayuda a construir un funcional lineal que posteriormente junto con el lema de Riesz [6] nos ayudara a mostrar la existencia y unicidad de la solución en el espacio de Hilbert.