Sobre las órbitas periódicas de ecuaciones diferenciales en el plano

Abstract

In this paper we perform a review of criteria to determine the existence or not existence of periodic orbits, in the plane to include several illustrative examples that help to clarify the problematic around the periodical orbits. There are some criteria that do not allow to identify regions where there are no periodic orbits in a system defined in the plane, a long of the following chapters we will cover each one of them in more detail, we will show a list of these criteria then theorem of Massa that allow us to know if there are periodic orbits in a system of equations x ? = A (t) x + b (t) where A (t) is a matrix that depends on the meter t and b (t) a function from the knowledge of bounded solutions for the system for the particular case of the Liénard equation x ? + f (x) x ? + g (x) = 0, we have some conditions are sufficient to ensure the existence of a periodic orbit. The Poincare e-Bendixson theorem does not provide conditions for the existence of periodic orbits in a region and plane. The theory of indices, at what point in the analysis of the index of a closed curve ?, see (Chapter 2), we can affirm the absence of periodic orbits from the Nature of break-even points. A special criterion that is being studied throughout this work is the criterion from Bendixson-Dulac, we will state this criterion as being from our main interest and be our primary objective to construct methods that allow us to find functions that satisfy this criterion.

En este trabajo realizamos una revisión de criterios para determinar la existencia o no existencia de orbitas periódicas, en el plano para esto incluimos varios ejemplos ilustrativos esperando que ayuden a aclarar la problemática en torno a las orbitas periódicas. Existen algunos criterios que nos permiten identificar regiones donde no existen orbitas periódicas en un sistema definido sobre el plano, a lo largo de los siguientes capítulos abordaremos cada uno de ellos con más detalle, mostraremos una lista de estos criterios a continuación. El teorema de Massera que nos permite conocer si existen órbitas periódicas en un sistema de ecuaciones x ? = A (t)x + b(t) donde A(t) es una matriz que dependen del para metro t y b(t) una función de t a partir del conocimiento de soluciones acotadas para el sistema. Para el caso particular de la ecuación de Liénard x ? + f (x) x ? + g(x) = 0, se tiene algunas condiciones suficientes para garantizar la existencia de una órbita periódica. El teorema de Poincaré-Bendixson que nos da condiciones para afirmar la existencia de orbitas periódicas en una región anular en el plano. La teoría de índices, en donde a partir del análisis del índice de una curva cerrada ?, ver (Capítulo 2), se puede afirmar la ausencia de orbitas periódicas a partir de la naturaleza de puntos de equilibrio. Un criterio especial que estaremos estudiando a lo largo de este trabajo es el criterio de Bendixson-Dulac, a continuación enunciaremos este criterio por ser de nuestro principal interés y ser ?a nuestro objetivo primordial el construir métodos que permitan encontrar funciones que satisfacen dicho criterio.