In this work, suitable foliations are constructed for three space-times: Minkowski in two dimensions, Minkowski in four dimensions in spherical coordinates, and the Schwarzschild solution. The first two cases clearly illustrate the construction of hyperboloidal space-time foliations. The third case also allows us to extract important information about Schwarzschild's space-time, namely: The behavior of the wave function according to the causal structure of Schwarzschild space-time. The quasinormal modes corresponding to said solution. With the numerical methods implemented it has been possible to study the polynomial tails of the massless scalar field decay. The dependence of these phenomena on the position of the observers with respect to the horizon of events of the black hole. In fact, the study of tails is important because they are expected to be observed in gravitational wave detectors [21]. The predictions in this respect are decisive for the astrophysical relevance of the future infinite null, because as it is verified here, the exponents of decay are different for a detector in J + than for a detector in a time-like trajectory. This work is presented in the following order: in chapter 2 the hyperboloidal foliations are constructed for the three cases studied and the conformal compactification is presented. In Chapter 3 we propose the solution of the wave equation as a hyperbolic problem of initial values in the conform metric, of course we consider the wave operator to be conformally invariant; in four-dimensional cases the wave is assumed to be spherical.
En este trabajo se construyen foliaciones adecuadas para tres espacio-tiempos: Minkowski en dos dimensiones, Minkowski en cuatro dimensiones en coordenadas esféricas, y la solución de Schwarzschild. Los primeros dos casos ilustran con claridad la construcción de foliaciones hiperboloidales del espacio-tiempo. El tercer caso además, permite extraer información importante acerca del espacio-tiempo de Schwarzschild, a saber: El comportamiento de la función de onda según la estructura causal del espacio- tiempo de Schwarzschild. Los modos cuasinormales correspondientes a dicha solución. Con los métodos numéricos implementados ha sido posible estudiar las colas polinomiales de decaimiento del campo escalar sin masa. La dependencia de estos fenómenos de la posición de los observadores con respecto al horizonte de eventos del agujero negro. De hecho, el estudio de los tails es importante porque se espera que sean observadas en los detectores de ondas gravitacionales [21]. Las predicciones en este respecto son decisivas para la relevancia astrofísica del futuro infinito nulo, porque como se verifica aquí, los exponentes de decaimiento son distintos para un detector en J + que para un detector en una trayectoria tipo tiempo. Este trabajo está presentado con el siguiente orden: en el capítulo 2 se construyen las foliaciones hiperboloidales para los tres casos estudiados y se presenta la compactificación conforme. En el capítulo 3 se plantea la solución de la ecuación de onda como problema hiperbólico de valores iniciales en la métrica conforme, por supuesto se considera el operador de onda conformalmente invariante; en los casos de cuatro dimensiones se supone que la onda es esférica.
