The objective of this work is to study the space of polyhedra with vertices of conical angles between 0 and 2π. By polyhedron we will understand a homeomorphic surface to the sphere provided with a flat metric except for a finite number of points that we will call conic singularities or vertices. The basic idea to study the space of polyhedral is the following. Given a polyhedron P with n + 1 vertices: 1. Choose a vertex v 0 of P. 2. Curves of minimum length γ 1, γ 2, are chosen . . . , Γ n joining v 0 with each of the others vertices of P. 3. P is cut along these curves. 4. The surface P {γ 1 ∪ γ 2 ∪ · · · ∪ γ n} unfolds in the Euclidean plane, thus obtaining a well defined polygon except isometries of R 2. 5. This polygon has 2n vertices whose coordinates determine a point in (R 2) 2n. Call- Ω n + 1 to the region in (R 2) 2n delimited by the polygons that can be obtained from this form. 6. The ambiguity that exists when choosing another vertex v i or other curves γ 1, γ 2, . . . , Γ n determines different polygons associated with each polyhedron. 7. So that each polyhedron P can associate a family of polygons with certain properties decreed by P. In this thesis are explained in detail certain points within this scheme. For example: 1. Existence and properties of the geodesics in a polyhedron. 2. The isometric splitting of P {γ 1 ∪ γ 2 ∪ · · · ∪ γ n} in the Euclidean plane.
El objetivo de este trabajo es estudiar el espacio de poliedros con vértices de ángulos cónicos entre 0 y 2π. Por poliedro entenderemos una superficie homeomorfa a la esfera provista de una métrica plana salvo en un numero finito de puntos que llamaremos singularidades cónicas o vértices. La idea básica para estudiar el espacio de poliedros es la siguiente. Dado un poliedro P con n + 1 vértices: 1. Se escoge un vértice v 0 de P. 2. Se escogen curvas de longitud mínima γ 1, γ 2,. . ., γ n que unen v 0 con cada uno de los demás vértices de P. 3. Se corta P a lo largo de estas curvas. 4. La superficie P {γ 1 ∪ γ 2 ∪ · · · ∪ γ n} se desdobla en el plano euclidiano, obteniendo así un polígono bien definido salvo isometrías de R 2. 5. Este polígono tiene 2n vértices cuyas coordenadas determinan un punto en (R 2) 2n. Llamaremos Ω n+1 a la región en (R 2) 2n delimitada por los polígonos que se pueden obtener de esta forma. 6. La ambigüedad que existe al escoger otro vértice v i u otras curvas γ 1, γ 2,. . ., γ n determina distintos polígonos asociados a cada poliedro. 7. De manera que a cada poliedro P podemos asociarle una familia de polígonos con ciertas propiedades decretadas por P. En esta tesis se explican con detalle ciertos puntos dentro de este esquema. Por ejemplo: 1. Existencia y propiedades de las geodésicas en un poliedro. 2. El desdoblamiento isométrico de P {γ 1 ∪ γ 2 ∪ · · · ∪ γ n} en el plano euclidiano.
