Curvatura promedio en haces fibrados principales

Abstract

In this thesis we study the basic aspects of the main bundles, which are indispensable to study differential geometry, since it is there where it is possible to define the connections and by so talk about parallel transport, holonomies and curvature. Now, if we consider a bundle beam main P (M, G) and a 1-way g-valued connection ? with which we have the 2-way of curvature (?) = X (Y): X, Y ? T u P}, the holonomic group Hol u (?) is related to the curvature by means of its Lie algebra hol u (?), this relationship is given by the Ambrose-Singer theorem. In this case we are considering all possible loops based on x = ? (u). Given a bond based in x the relation between the curvature and the holonomic is not direct and this depends in general of the group G. For example, if M 2 ? R 3, G = SO (2) and F (M 2, SO (2)) is the beam of frames, given a loop, W ? hol u (?) is the integral of the curvature on the surface enclosed by it, where exp (W) is the element in the holonomic group corresponding to the parallel transport around the loop. We define then the average curvature as the element in the Lie algebra with the properties described above. We discuss the difficulties in defining this quantity and show the conditions under which we can Define in SU (2).

En esta tesina estudiamos los aspectos básicos de los haces fibrados principales, los cuales son indispensables para estudiar geometría diferencial, ya que es allí donde es posible definir las conexiones y por lo tanto hablar de transporte paralelo, holonomías y curvatura. Ahora, si consideramos un haz vibrado principal P (M, G) y una 1-forma de conexión g-valuada ? con la cual tenemos la 2-forma de curvatura g-valuada ?, el grupo de holonomía Hol u (?) se relaciona con la curvatura por medio de su álgebra de Lie hol u (?) = Span {? u (X, Y): X, Y ? T u P}, esta relación está dada por el teorema de Ambrose-Singer. En este caso estamos considerando todos los lazos posibles basados en x = ? (u). Dado un lazo basado en x la relación entre la curvatura y la holonomía no es directa y esta depende en general del grupo G. Por ejemplo si M 2 ? R 3, G = SO (2) y F (M 2, SO (2)) es el haz de marcos, dado un lazo, el elemento W ? hol u (?) es la integral de la curvatura en la superficie encerrada por este, donde exp (W ) es el elemento en el grupo de holonomía que corresponde al transporte paralelo alrededor del lazo. Definimos entonces la curvatura promedio como el elemento en el álgebra de Lie con las propiedades descritas anteriormente. Discutimos las dificultades al definir esta cantidad y mostramos las condiciones en las cuales se puede definir en SU (2).