Algunas aplicaciones de los métodos de la teoría de conjuntos a problemas de álgebra

Abstract

The first chapter of the thesis is intended to whitehead problem, which consists in characterizing the abelian groups G such that Ext (G, ?) = 0 (such groups are known as W-groups, or Whitehead groups). The first sections basically a discussion that serves to motivate and raise the problem of Whitehead. In the second section, some properties are detailed, which already correspond properly to the theory of groups, about the W-groups, which in general are analogous to properties possessed by the groups abelianos free. In the next section we show that the W-countable groups are free, while the fourth section generalizes the methods used in the previous section, in order to investigate the behavior and properties of the cardinality W-groups ? 1. The fifth section demonstrates the consistency (using the constructability axiom) that all W-group of cardinality ? 1 is free, whereas in the sixth and last section it is demonstrated the consistency of the opposite statement, that is, that there are W-groups that are not free. In this in the last test, Martin's axiom is used, thus establishing that the problem of whitehead is undecidable within the ZFE axiomatic system. Then, in the second chapter begins to work with the infinite symmetric group, that is, the group S ? of bijections of ? in ?; And above all, with the cardinal invariant cf (S ?) defined on the basis of this group.

El primer capítulo de la tesis está destinado a hablar del problema de Whitehead, que consiste en caracterizar los grupos abelianos G tales que Ext (G, ?) = 0 (a tales grupos se les conoce como W-grupos, o grupos de Whitehead). La primera secciones básicamente una discusión que sirve para motivar y plantear el problema de Whitehead. En la segunda sección, se detallan algunas propiedades, que ya corresponden propiamente a la teoría de grupos, acerca de los W-grupos, que en general son análogas a propiedades que poseen los grupos abelianos libres. En la siguiente sección se demuestra que los W-grupos numerables son libres, mientras que en la cuarta sección se generalizan los métodos empleados en la sección anterior, con el objetivo de investigar el comportamiento y las propiedades de los W-grupos de cardinalidad ? 1. En la quinta sección se demuestra la consistencia (utilizando el axioma de constructibilidad) de que todo W-grupo de cardinalidad ? 1 sea libre, mientras que en la sexta y última sección se demuestra la consistencia del enunciado opuesto, es decir, de que existen W-grupos que no son libres. En esta última prueba, se utiliza el axioma de Martín, estableciendo de esta manera que el problema de Whitehead es indecidible dentro del sistema axiomático ZFE. A continuación, en el segundo capítulo se comienza a trabajar con el grupo simétrico infinito, es decir, el grupo S ? de biyecciones de ? en ?; y sobre todo, con el invariante cardinal cf(S ? ) definido en base a este grupo.