La aplicación de Petri para haces lineales sobre curvas algebraicas

Abstract

Currently in the area of algebraic Geometry the study of special curves using the application of Petri is very important to study the moduli space M g and its divisors, as well as families of curves within algebraic surfaces. This thesis work starts from the basic definitions of sheaves and divisors up to the analysis of how the application of Petri gives us information about the geometry of the curves. The first chapter includes the necessary preliminaries and the notation used to understand the constructions given in the following sections, such as linear beams on complex varieties, sheaves and Cech cohomology. In the second chapter a study of the divisors on complex varieties is made and studies the relation between them and the linear beams; The Chern class of a linear beam is defined and linear systems are defined, as well as the sheaves O D associated with a divider D; the U last part is dedicated to enunciate important theorems for the case of surfaces of Riemann compact as Serre's duality theorem, we prove the Riemann-Roch theorem and a theorem on the existence of lace in the projective space P n is given. The third part is devoted to the study of linear beams on curves, we start with the constructions of varieties that parameterize linear systems on curves and defines the application of Petri; Also give some results that relate to the number of Brill-Noether with varieties of linear systems; This work ends with the development an example of how the Petri application gives us information about the geometry of the curve in question.

Actualmente en el área de Geometría Algebraica el estudio de curvas especiales mediante la aplicación de Petri es muy importante para estudiar el espacio moduli M g y sus divisores, as ?? como familias de curvas dentro de superficies algebraicas. Este trabajo de tesina empieza desde las definiciones básicas de gavillas y divisores hasta el análisis de como la aplicación de Petri nos da información sobre la geometría de las curvas. En el primer capítulo se incluyen los preliminares necesarios y la notación utilizada para entender las construcciones dadas en las siguientes secciones, tales como haces lineales sobre variedades complejas, gavillas y cohomolog?a de Cech. En el segundo capítulo se hace un estudio de los divisores sobre variedades complejas y se estudia la relación entre ellos y los haces lineales; se define la clase de Chern de un haz lineal y se definen sistemas lineales, as ?? como las gavillas O D asociadas a un divisor D; la u última parte se dedica a enunciar teoremas importantes para el caso de superficies de Riemann compactas como el teorema de dualidad de Serre, se demuestra el teorema de Riemann-Roch y se enuncia un teorema sobre la existencia de encajes al espacio proyectivo P n . La tercer parte está dedicada al estudio de haces lineales sobre curvas, empezamos con las construcciones de las variedades que parametrizan sistemas lineales sobre curvas y se define la aplicación de Petri; también se dan algunos resultados que relacionan al número de Brill-Noether con las variedades de sistemas lineales; este trabajo termina con el desarrollo de un ejemplo de como la aplicación de Petri nos da información sobre la geometría de la curva en cuestión.