Grupos Nil de Bass de Z[C p 2 ] y para Z[C p × C p ]

Abstract

In the present work of thesis we set out to study the so-called Nil-groups of Bass of the rings of group Z [C p 2] and Z [C p × C p]. The definition of the Bass Nil-groups is given by considering a ring R and seeking to compute the K-theory of its ring of polynomials R [x] or its ring of Laurent polynomials R [x, x -1], As its name implies, are the nucleus of a homomorphism called increase obtained by inducing in K-theory the ring homomorphism x → 0. The results obtained are new. This thesis has as antecedent the article of C. Weibel [We] in which the calculations are developed for the case p = 2, we generalize these results for a prime number anyone. Weibel explores the structure of modules on the vector ring of Witt and us we simply confine the work to studying them as abelian groups. We begin with the classical definitions of K 0 with finitely generated projective modules, K 1 as the abelianization of GL, the infinite linear general group with entries in a ring and K 2 seen as problems of central extensions. In the second chapter we discuss properties of the previously defined groups, in particular we study how these groups with respect to ideals, a tool that is fundamental to this work. In the third chapter we define properly the Bass Nil-groups, some properties of these groups (being imprecise and colloquial we can say that if it is valid for the groups K i is highly probable that it is worth for NK i) and address the problem.

En el presente trabajo de tesis nos propusimos estudiar los llamados Nil-grupos de Bass de los anillos de grupo Z [C p 2] y Z [C p × C p]. La definición de los Nil-grupos de Bass se da al considerar un anillo R y buscar calcular la K-teoría de su anillo de polinomios R[x] o bien, su anillo de polinomios de Laurent R [x, x −1], como su nombre indica, son el núcleo de un homomorfismo llamado aumentación obtenido de inducir en K-teoría el homomorfismo de anillos x → 0. Los resultados obtenidos son nuevos. Esta tesina tiene como antecedente el artículo de C. Weibel [We] en el cual los cálculos son desarrollados para el caso p = 2, nosotros generalizamos estos resultados para un numero primo cualquiera. Weibel explota la estructura de módulos sobre el anillo de vectores de Witt y nosotros simplemente confinamos el trabajo a estudiarlos como grupos abelianos. Comenzamos por las definiciones clásicas de K 0 con módulos proyectivos finitamente generados, la de K 1 como la abelianización de GL el grupo general lineal infinito con entradas en un anillo y de K 2 visto como problemas de extensiones centrales. En el segundo capítulo abordamos propiedades de los grupos previamente definidos, en concreto estudiamos cómo se comportan estos grupos respecto de ideales, herramienta que es fundamental para este trabajo. En el tercer capítulo definimos propiamente los Nil-grupos de Bass, algunas propiedades de estos grupos (siendo imprecisos y coloquiales podemos decir que si vale para los grupos K i es altamente probable que valga para NK i) y abordamos el problema.