Anillos de Burnside y sus aplicaciones

Abstract

Let G be a finite group, the Burnside ring B (G) is one of the fundamental representation rings of G. This work is divided into three chapters. We begin with the notation necessary for the development of the work. Continues with operations in G-sets that later extended our son ring, what makes a universal object when we study the category of G-sets. Some characterizations of the G-sets of no more ring We define B (G) and establish the operations with what is a commutative ring and we can study the prime and idempotent primitive spectra. Some of the applications in this section are known results although generalized and used in their demonstration properties B (G) which are further useful later. By studying the idempotents and the spectrum we get very useful formulas and results on how to calculate specific elements and see how we see the idempotent elements of Z (π) B (G). The last chapter makes use of the algebraic topology to analyze invariants linked to structure G-sets, tales like G-cups or simplified G-sets. It begins with a small introduction defining terms like chain complex, homologation group. If it also defines the characteristic of Euler-Poincaré first invariant, that of Lefschetz. Other invariants of the chapters are those of Möbius and Steinberg, both defined by the Lefschetz invariant but each for G-flakes specifically and any you can see how generalizations for the category of G-sets of classical notions, say the Möbius function for a glass or the Steinberg module of a Chevalley group. For all these invariants have several properties.

Sea G un grupo finito, el anillo de Burnside B (G) es uno de los anillos de representación fundamentales de G. Este trabajo se divide en tres capítulos. Comenzamos con la notación necesaria para el desarrollo del trabajo. Continua con operaciones en G-conjuntos que luego son extendidas a nuestro anillo, lo cual lo hace un objeto universal cuando estudiamos la categoría de G-conjuntos. Algunas caracterizaciones de los G-conjuntos nos permiten m ́as adelante entonces darle la estructura de anillo. Definimos B (G) y establecemos operaciones con lo cual es un anillo conmutativo y podemos estudiar el espectro primo y los idempotentes primitivos. Algunas de las aplicaciones de esta sección son resultados conocidos aunque generalizados y se usan en su demostración propiedades de B (G) que además son útiles más adelante. Al estudiar los idempotentes y espectro primo obtenemos formulas y resultados muy útiles sobre como calcular elementos específicos y ver entonces como se ven los elementos idempotentes de Z (π) B (G). El ultimo capitulo hace uso de la topología algebraica para analizar invariantes ligados para estructurar G-conjuntos, tales como G-copos o G-conjuntos simpliciales. Se comienza con una pequeña introducción definiendo términos como complejo de cadenas, grupo de homología. Se define también la característica de Euler-Poincaré pues se establecen propiedades entre esta y un primer invariante, el de Lefschetz. Otros invariantes de los capítulos son el de Möbius y el de Steinberg, ambos definidos por el invariante de Lefschetz pero cada uno para G-copos específicos y los cuales podemos ver como generalizaciones para la categoría de G-conjuntos de nociones clásicas, digamos la función de Möbius para un copo o el módulo de Steinberg de un grupo de Chevalley. Para todos estos invariantes se tienen diversas propiedades.