To carry out the study of function algebras in non-commutative geometry, it is vital extend the classical tools, such as differential and integral calculus, transformations of symmetry, invariant measure, non-commutative case. In this paper we study a non-commutative algebra, O (H s, q), (see Section 3 of chapter 1) that we consider as a deformation of the coordinate ring O (H s) (with complex coefficients) on the hyperboloid H s = {(t 1, t 2, t 3) ∈ R 3: t 1 2 + t 2 2 - (t 3 - 1) (t 3 - s) = 0} S ∈ [-1, 1), So we call O (H s, q) quantum hyperboloid. It is also worth mentioning that the Lie group SU (1, 1) acts on H s as transformations of symmetry and there is an invariant measure with respect to this action. If we define an integral on the infinitely differentiable and integrable functions on H s with respect to said measure invariant, we will obtain a functional that remains invariant under the action of the group. For objectives of non-commutative geometry we formulate this invariance property of the Integral over a functional algebra of "integrable" functions, where the action of SU (1, 1) is replaced by an action of a deformation of the universal envelope algebra, U q (its 1,1), of the Lie algebra its 1,1. The universal enveloping algebra can be considered as a algebra generated by first-order differential operators. Then to algebras with an action of U q (its 1, 1) we can consider them as algebras of infinitely differentiable functions. Here, a problem arises because neither in the coordinate ring O (H s) the different polynomials of zero are integrable.
Para llevar a cabo el estudio de álgebras de funciones en Geometría no conmutativa, es vital extender las herramientas clásicas, tales como cálculo diferencial e integral, transformaciones de simetría, medida invariante, al caso no conmutativo. En el presente documento estudiamos un álgebra no conmutativa, O(H s,q ), (ver Sección 3 del capítulo 1) que consideramos como una deformación del anillo de coordenadas O(H s ) (con coeficientes complejos) sobre el hiperboloide H s = {(t 1 , t 2 , t 3 ) ∈ R 3 : t 1 2 + t 2 2 − (t 3 − 1)(t 3 − s) = 0}, s ∈ [−1, 1), por eso llamamos a O(H s,q ) Hiperboloide cuántico. Además cabe mencionar que el grupo de Lie SU (1, 1) actúa sobre H s como transformaciones de simetría y existe una medida invariante con respecto a esta acción. Si definimos un integral sobre las funciones infinitamente diferenciables e integrables sobre H s con respecto a dicha medida invariante, obtendremos un funcional que se queda invariante bajo la acción del grupo. Para objetivos de Geometría no conmutativa formulamos esta propiedad de invarianza de la integral mediante un funcional sobre un álgebra de funciones “integrables”, donde la acción de SU (1, 1) esta reemplazada por una acción de una deformación del álgebra envolvente universal, U q (su 1,1), del álgebra de Lie su 1,1. El álgebra envolvente universal la podemos considerar como un álgebra generada por operadores diferenciales de primer orden. Entonces a las álgebras con una acción de U q (su 1,1) podemos considerarlas como álgebras de funciones infinitamente diferenciables. Justo aquí surge un problema, pues ni en el anillo de coordenadas O (H s ) los polinomios distintos del cero son integrables.
