Aspectos geométricos de la función de Weierstrass

Abstract

In Chapter 1 we show that the Weierstrass function induces a complex structure on the biolomorphic Euclidean dysphenoids to the Riemann sphere. A spherical dysphenoid is the unitary sphere with 4 points marked and that the length of the arcs of maximum circle, joining said points, are equal when the arcs do not have points in common. At 4 points we call vertices and the arcs of circle that join the vertices we call edges. Identifying the unit sphere S 2 with the Riemann sphere under the stereographic projection, a natural question that we can do is the following: does the Weierstrass function τ induce a biholomorphism between Ω τ and a spherical disphenoid, which relate vertices with vertices and edges with edges? The answer to the question will not be true, however, by applying a Möbius transformation H we prove that the function h ◦ ℘ τ induces a biholomorphism Ψ τ: Ω τ - → C that fulfills the following: I. The function Ψ τ sends the vertices of Ω τ at the vertices of a spherical disphenoid. Ii. The function Ψ τ sends the midpoints of the edges of Ω τ at the midpoints of the edges of the spherical disphenoid. Iii. Consider τ in the region M and Δ the triangle formed by the points {0, 1, τ}. So the following is true: • If Δ is scalene, then Ψ τ does not send edges in edges. • If Δ is isosceles, then Ψ τ sends a pair of edges to the respective edges of the spherical disphenoid. • If Δ is rectangle, then Ψ τ sends 2 pairs of edges to the respective edges of the spherical disphenoid.

En el Capítulo 1 demostramos que la función de Weierstrass induce una estructura compleja sobre los disfenoides euclidianos biholomorfa a la esfera de Riemann. Un disfenoide esférico es la esfera unitaria con 4 puntos marcados y cumplen que la longitud de los arcos de círculo máximo, que unen dichos puntos, sean iguales cuando los arcos no tengan puntos en común. A los 4 puntos les llamamos vértices y a los arcos de círculo que unen los vértices les llamamos aristas. Identificando a la esfera unitaria S 2 con la esfera de Riemann bajo la proyección estereográfica, una pregunta natural que podemos hacer es la siguiente: ¿La función de Weierstrass τ induce un biholomorfismo entre Ω τ y un disfenoide esférico, que relacione vértices con vértices y aristas con aristas? La respuesta a la pregunta no será cierta, sin embargo, aplicando una transformación de Möbius h adecuada demostramos que la función h ◦ ℘ τ induce un biholomorfismo Ψ τ: Ω τ −→ C que cumple lo siguiente: i. La función Ψ τ manda los vértices de Ω τ en los vértices de un disfenoide esférico. ii. La función Ψ τ manda los puntos medios de las aristas de Ω τ en los puntos medios de las aristas del disfenoide esférico. iii. Consideremos τ en la región M y ∆ el triángulo formado por los puntos {0, 1, τ}. Entonces se cumple lo siguiente: • Si ∆ es escaleno, entonces Ψ τ no manda aristas en aristas. • Si ∆ es isósceles, entonces Ψ τ envía un par de aristas a las respectivas aristas del disfenoide esférico. • Si ∆ es rectángulo, entonces Ψ τ envía 2 pares de aristas a las respectivas aristas del disfenoide esférico.