Rigidez de superficies y problema de Weyl

Abstract

In chapter one, we introduce the notion of infinitesimal deformation and infinitesimal rigidity of a regular surface in R 3 and using the integral formula of Blaschke, equation (1.9), we demonstrate the infinitesimal rigidity of the convex surfaces. This result is indispensable to study the Weyl problem because it solves the linearized Weyl problem (equation (4.2) that appears in the continuity method). In chapter two, we present the proof of the Cohn-Vossen Theorem (Theorem 2.3), which talks about the uniqueness of isometric laces in Weyl's problem. The proof of Theorem of Cohn-Vossen which we present here is given by Herglotz as a consequence of its integral formula. In chapter three we explain the method used by Nirenberg to solve the Weyl problem, which is a continuity method similar to that of Weyl. This method is reformulated the problem of equality between Banach spaces (equality (3.1)). We present here the test of the first part of the continuity method, which is due to Weyl, where it is strongly used the Uniformization Theorem of Complex Analysis. In chapter four we present the second part of the continuity method that translates to a theorem of existence (Theorem 4.2) for a linear differential equation (equation (4.2)) which is precisely the non-homogeneous case of the equations studied in the infinitesimal deformations and give the test given by Nirenberg using theory of elliptical operators on the sphere S 2. In Chapter Five, using the a priori estimation C 2 of Weyl (equation (5.1)) and the estimate a priori C 2 + ? of Nirenberg (equation (5.2)) of a fit, we conclude the method of continuity and completes the test of the existence of the isometric fit.

En el capítulo uno, introducimos la noción de deformación infinitesimal y de rigidez infinitesimal de una superficie regular en R 3 y usando la formula integral de Blaschke, ecuación (1.9), demostramos la rigidez infinitesimal de las superficies convexas. Este resultado es indispensable para estudiar el problema de Weyl pues permite resolver el problema de Weyl linealizado (ecuación (4.2) que aparece en el método de continuidad). En el capítulo dos, presentamos la prueba del Teorema de Cohn-Vossen (Teorema 2.3), el cual habla de la unicidad de los encajes isométricos en el problema de Weyl. La demostración del Teorema de Cohn-Vossen que presentamos aquí es la dada por Herglotz como consecuencia de su fórmula integral. En el capítulo tres explicamos el método usado por Nirenberg para la solución del problema de Weyl, el cual es un método de continuidad parecido al que us ?o Weyl. En este método se reformula el problema a una igualdad entre espacios de Banach (igualdad (3.1)). Presentamos aquí la prueba de la primera parte del método de continuidad, la cual se debe a Weyl, donde se usa fuertemente el Teorema de Uniformización del análisis complejo. En el capítulo cuatro presentamos la segunda parte del método de continuidad que se traduce a un teorema de existencia (Teorema 4.2) para una ecuación diferencial lineal (ecuación (4.2)) que es precisamente el caso no homogéneo de las ecuaciones estudiadas en las deformaciones infinitesimales de superficies y damos la prueba dada por Nirenberg usando teoría de operadores elípticos sobre la esfera S 2 . En el capítulo cinco, usando la estimación a priori C 2 de Weyl (ecuación (5.1)) y la estimación a priori C 2+? de Nirenberg (ecuación (5.2)) de un encaje, damos la conclusión del método de continuidad y se completa la prueba de la existencia del encaje isométrico.