Grupos geométricamente infinitos

Abstract

In the present work, the difficulties that arise in the mathematical field when passing a property of a topological space from one dimension to another become obvious. It is difficult in general, having a result, generalize it for larger dimensions, often impossible. This last case is the one that happens in this work, having a theorem that is valid in dimension 2, an example is shown that in dimension 3 is no longer valid. Taking one example, you can find many more. The main theorem is the Ahlfors Theorem which says that if I have a group acting discontinuously and finitely generated, and its quotient is made, the resulting manifold is of finite type. In this result we see interesting relations between something geometric (fundamental domain with finite number of sides), something algebraic (finitely generated group) and something topological (variety of finite type) as well as how they complement each other to arrive at a result. Then, to show that it is not valid in dimensions greater than 2, a finitely generated group is constructed such that the manifold that is generated when making the quotient, has fundamental group not finitely generated. For this a study of the transformations of Möbius is made, some of its properties are seen and they are used to form groups that act of discontinuous form in the extended plane of the complexes. We then work with Kleinian groups and describe some of their characteristics and then conclude with a theorem that allows groups with favorable properties to be created from other groups under reasonable conditions.

En el presente trabajo se hacen obvias las dificultades que se presentan en el ámbito matemático al pasar una propiedad de un espacio topológico de una dimensión a otra. Es difícil en general, teniendo un resultado, generalizarlo para dimensiones mayores, muchas veces es imposible. Este último caso es el que sucede en este trabajo, teniendo un teorema que es válido en dimensión 2, se muestra un ejemplo de que en dimensión 3 ya no es válido. Teniendo un ejemplo, se pueden encontrar muchos más. El principal teorema es el Teorema de Ahlfors que dice que si tengo un grupo actuando de forma discontinua y finitamente generado, y se hace su cociente, la variedad que resulta, es de tipo finito. En este resultado se ven interesantes relaciones entre algo geométrico (dominio fundamental con numero finito de lados), algo algebraico (grupo finitamente generado) y algo topológico (variedad de tipo finito) así como también se ve como entre ellas se complementan para llegar a un resultado. Entonces, para mostrar que no es válido en dimensiones mayores que 2, se construye un grupo finitamente generado tal que la variedad que se genera al hacer el cociente, tiene grupo fundamental no finitamente generado. Para esto se hace un estudio de las transformaciones de Möbius, se ven algunas de sus propiedades y se usan para formar grupos que actúan de forma discontinua en el plano extendido de los complejos. Después se trabaja con grupos Kleinianos y se describen algunas de sus características para después concluir con un teorema que permite crear grupos con propiedades favorables a partir de otros grupos bajo condiciones razonables.