In this thesis we will analyze the Dirac equation and its separability. The Dirac equation is a wave equation that gives us a description of elementary particles with spin 1/2, to find this equation first we must introduce the concept of spinor by analyzing the groups O (3), SU (2 ), SL (2, C) and the Lorentz group, and then observe the behavior of this spinor in the case of a Lorentz thrust. Once we have found the Dirac equation we proceed to see what form it takes in a curved space-time, for this we introduce a series of formalisms: the formalism of tetrads, the formalism of Newman-Penrose and the formalism of dyads. By analyzing under what conditions the Dirac equation can be separated, we will show that the solution of the Dirac equation is reduced to the determination of certain radial and angular functions that satisfy ordinary second-order differential equations. We will show that for D-space this equation is separable and we will also analyze the equation in the axial-symmetrical and static space-times, finding a class of them that allows separation.
En esta tesis vamos a analizar la ecuación de Dirac y su separabilidad. La ecuación de Dirac es una ecuación de onda que nos da una descripción de partículas elementales con spin 1/2, para encontrar dicha ecuación primero se debe de introducir el concepto de espinor por medio de analizar los grupos O(3), SU(2), SL(2,C) y el grupo de Lorentz, y después observar el comportamiento de dicho espinor en el caso de un empuje de Lorentz. Una vez que hemos encontrado la ecuación de Dirac procederemos a ver qué forma toma en un espacio-tiempo curvado, para esto introduciremos una serie de formalismos: el formalismo de tétradas, el formalismo de Newman-Penrose y el formalismo de diadas. Al analizar bajo cuales condiciones se puede separar la ecuación de Dirac demostraremos que la solución de la ecuación de Dirac se reduce a la determinación de ciertas funciones radiales y angulares que satisfagan ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Mostraremos que para los espacio- tiempos tipo D esta ecuación es separable y también analizaremos la ecuación en los espacio-tiempos axialmente-simétricos y estáticos, encontrando una clase de ellos que permite la separación.
