El hamiltoniano en sistemas disipativos

Abstract

It leads to the study of dynamic systems, which are complex systems that present a change or evolution of their state over time. If time is measured in small lapses we are talking about discrete dynamical systems; Which are modeled as recursive relationships, such as the logistic equation, as is the growth of a whale population. On the other hand, if time is measured continuously, it is a continuous dynamic system, which is modeled by an ordinary differential equation; An example of such systems is the harmonic oscillator. Once given the model of a continuous dynamic system, the analysis can be performed in two different ways. The first and oldest is characterized by a search for explicit solutions of the differential equation that represents our model either in exact formulas (which is rarely feasible) or in terms of power series. The second is focused on obtaining qualitative information about the general behavior of the solutions. The set of equations that can be explicitly solved is very small compared to the universe of dynamic systems, which are currently being modeled in all areas of knowledge. Currently in physics theories that seek to obtain qualitative information on the general behavior of solutions are mostly developed to apply to conservative systems, one of these theories is the inverse problem of variational calculation, which applied to classical mechanics allows us That once given the equation of motion we can find the Lagrangian associated to this equation and consequently its Hamiltonian, which contains all the information of the system that is being analyzed.

Lleva a estudiar los sistemas dinámicos, los cuales son sistemas complejos que presentan un cambio o evolución de su estado en el tiempo. Si el tiempo se mide en pequeños lapsos estamos hablando de sistemas dinámicos discretos; los cuales son modelados como relaciones recursivas, tal como la ecuación logística, como lo es el crecimiento de una población de ballenas. En cambio si el tiempo es medido en forma continua se tratara de un sistema dinámico continuo, el cual es modelado mediante una ecuación diferencial ordinaria; un ejemplo de este tipo de sistemas es el oscilador armónico. Una vez dado el modelo de un sistema dinámico continuo, el análisis se puede realizar de dos formas diferentes. La primera y más antigua se caracteriza por una búsqueda de soluciones explícitas de la ecuación diferencial que representa nuestro modelo ya sea en formulas exactas (lo que rara vez resulta factible) o bien en términos de series de potencias. La segunda se centra más bien en obtener información cualitativa sobre el comportamiento general de las soluciones. El conjunto de ecuaciones que se pueden resolver explícitamente es muy pequeño comparado con el universo de sistemas dinámicos, que actualmente se están modelando en todas las áreas del conocimiento. En la actualidad en física las teorías que buscan obtener información cualitativa sobre el comportamiento general de las soluciones esta desarrolladas en su mayoría para aplicarse a sistemas conservativos, una de estas teorías es el problema inverso del cálculo variacional, el cual aplicado a mecánica clásica nos permite que una vez dada la ecuación de movimiento podamos encontrar el Lagrangiano asociado a dicha ecuación y en consecuencia su hamiltoniano, el cual contiene toda la información del sistema que se está analizando.