The objective of this work is to review the development of a general construction of the representations of Heisenberg algebra in arbitrary Riemannian manifolds. The reasons for investigating these aspects of field theory are, on the one hand, that quantization in curved spaces is a problem that has remained from the origin of quantum mechanics to the present day. The fundamental problem of quantization in curved spaces is associated with the ordering of variables. This problem of ordering has no repercussions at the classical level, however at the quantum level produces so-called ambiguities or quantum corrections. In the study of this problem there have been important contributions, which have helped to understand and advance their solution [20, 21, 22, 23]. However, to date there is no complete solution to the problem of ordering in arbitrary Riemannian manifolds. In fact, the studies made in the previous references show that the ambiguities or quantum corrections have their origin in the arbitrariness of surface terms when asking for the invariance of the action. This indicates that even when one can speak of symmetries at the classical level, at the quantum level they are not conserved and consequently give rise to anomalies. Throughout this work, and given the type of systems we analyze, we will not consider the problem of surface terms in the principle of minimum action and its possible anomalies. In Chapter 1 we will review the formalism. First, in the case of a single degree of freedom, and then extension to more dimensions. The concept of the integral of path is also presented.
El objetivo de este trabajo es revisar el desarrollo de una construcción general de las representaciones del ́algebra de Heisenberg en variedades arbitrarias Riemannianas. Las razones para investigar estos aspectos de la teoría de campo son, por un lado que la cuantización en espacios curvos es un problema que ha permanecido desde el origen de la mecánica cuántica hasta nuestros días. El problema fundamental de cuantizar en espacios curvos está asociado con el ordenamiento de las variables. Este problema de ordenamiento no tiene repercusiones a nivel clásico, sin embargo a nivel cuántico produce las llamadas ambigüedades o correcciones cuánticas. En el estudio de este problema ha habido importantes contribuciones, las cuales han ayudado a entender y avanzar en su solución [20, 21, 22, 23]. Sin embargo, hasta la fecha no existe una solución completa al problema de ordenamiento en variedades Riemannianas arbitrarias. De hecho, los estudios realizados en las referencias anteriores nos muestran que las ambigüedades o correcciones cuánticas tienen su origen en la arbitrariedad de términos de superficie al pedir la invariancia de la acción. Esto nos indica que aun cuando se puede hablar de simetrías a nivel cl ́asico, a nivel cuántico ellas no se conservan y consecuentemente dan lugar a anomalías. A lo largo de este trabajo, y dado el tipo de sistemas que analizamos, no consideraremos el problema de términos de superficie en el principio de mínima acción y sus posibles anomalías. En el Capítulo 1 haremos una revisión del formalismo. Primero en el caso de un solo grado de libertad, y luego la extensión a m ́as dimensiones. También se presenta el concepto de la integral de camino.
