Solución de la ecuación de onda auto-gravitante en relatividad general

Abstract

n this thesis we present the numerical solution of the wave equation in different cases, starting with a simple case, solving the Wave Equation in a flat space-time in Cartesian coordinates having a spatial dimension only, then the solution of The wave equation with spherical symmetry in spherical coordinates, which is a problem that reduces to a spatial and a temporal coordinate, but which involves the uniqueness of the coordinates. This is useful to learn some strategies related to the use of spherical coordinates, since we know that the Laplacian in these coordinates diverges at the origin, hence it is necessary to determine a method of regularization of discrete operators. Finally we take the previous case but add the autogravity of the wave function. The simplest generalization of the previous case to general relativity is to consider that the wave function is associated to a scalar field, which also has a tensor of the energy moment associated. We add a potential to the scalar field in order to have a wave function with mass. The geometric condition called Bianchi's identity turns out to be a generalized wave scout, the so-called Klein-Gordon equation, which is a slight generalization of the wave equation if we take into account that we have used the development of the D'Alambertian operator in terms of A line item. Among the most common methods for solving Partial Differential Equations are the Expectral Methods, the Finite Difference Methods, the Finite Volume Methods, and the Finite Element Methods.

En la presente tesis se presenta la solución numérica de la ecuación de onda en diferentes casos, empezando con un caso sencillo, resolviendo la Ecuación de Onda en un espacio- tiempo plano en coordenadas cartesianas teniendo una dimensión espacial solamente, después se estudia la solución de la ecuación de onda con simetría esférica en coordenadas esféricas, que es un problema que se reduce a una coordenada espacial y una temporal, pero que involucra la singularidad de las coordenadas. Esto nos sirve para aprender algunas estrategias relacionadas con el uso de las coordenadas esféricas, pues sabemos que el laplaciano en dichas coordenadas diverge en el origen, de ahí que sea necesario determinar un método de regularización de los operadores discretos. Por ultimo tomamos el caso anterior pero agregamos la autogravedad de la función de onda. La generalización más simple del caso anterior hacia relatividad general es considerar que la función de la onda está asociada a un campo escalar, que además tiene un tensor de la energía momento asociado. Agregamos un potencial al campo escalar con el fin de tener una función de onda con masa. La condición geométrica llamada identidad de Bianchi resulta ser una escuación de onda generalizada, la llamada ecuación de Klein-Gordon, que es una generalización leve de la ecuación de onda si tomamos en cuenta que hemos usado el desarrollo del operador D’Alambertiano en términos de un elemento de línea. Entre los métodos más comunes para resolver Ecuaciones Diferenciales Parciales se encuentran los Métodos Expectrales, los Métodos de Diferencias Finitas, los Métodos de Volumen Finito y los Métodos de Elemento Finito.