La dinámica holomorfa del método de Newton-Raphson y el algoritmo de Shub-Smale

Abstract

Raphson (or simply Newton's method), seen as a holomorphic dynamic system, and the Shub-Smale algorithm. Both methods are used to find a root of a polynomial with complex coefficients. On the other hand, we will give a brief exposition of the generally convergent purely iterative algorithms. In the first chapter we will introduce the basic concepts of the holomorphic dynamical systems of the Riemann sphere in itself. In the first sections of this chapter we will make a detailed study of the following concepts: 1. The Julia and Fatou sets. 2. Local dynamics of the attractor cycles, superatractors. 3. Local dynamics of repulsor cycles. 4. Local dynamics of rational neuter cycles. 5. Local dynamics of irrational neutral cycles. We will close this chapter with a brief exposition of modern results, such as Sullivan's periodic component theorem and Shishikura's theorem on the numbering of cycles for a rational function. In Chapter II, we will study in detail the holomorphic dynamics of Newton's method and introduce the concept of a purely iterative algorithm, which is a generalization (given by S. Smale and extended by C. McMullen) of Newton's method. Newton's method is one of the methods to find more powerful roots used today. The importance of this method is that if applied to a polynomial, then the convergence is linear near a zero of multiplicity greater than or equal to 2 and is quadratic near a simple zero. The main difficulty with this method is how to choose an initial point, so that the iterations of Newton's endomorphism converge.

Raphson (o simplemente método de Newton), visto como un sistema dinámico holomorfo, y del algoritmo de Shub-Smale. Ambos métodos se utilizan para encontrar una raíz de un polinomio con coeficientes complejos. Por otro lado, haremos una breve exposición de los algoritmos puramente iterativos generalmente convergentes. En el primer capítulo introduciremos los conceptos básicos de los sistemas dinámicos holomorfos de la esfera de Riemann en s ?? misma. En las primeras secciones de este capítulo haremos un estudio detallado de los siguientes conceptos: 1. Los conjuntos de Julia y de Fatou. 2. Dinámica local de los ciclos atractores, superatractores. 3. Dinámica local de los ciclos repulsores. 4. Dinámica local de los ciclos neutros racionales. 5. Dinámica local de los ciclos neutros irracionales. Cerraremos este capítulo con una breve exposición de resultados modernos, como el teorema de las componentes periódicas de Sullivan y el teorema de Shishikura sobre la acotación del número de ciclos para una función racional. En el capítulo II, estudiaremos de forma detallada la dinámica holomorfa del método de Newton e introduciremos el concepto de algoritmo puramente iterativo, el cual es una generalización (dada por S. Smale y extendida por C. McMullen) del método de Newton. El método de Newton es uno de los métodos para encontrar raíces más poderosas usados hoy en día. La importancia de este método estriba en que si se aplica a un polinomio, entonces la convergencia es lineal cerca de un cero de multiplicidad mayor o igual a 2 y es cuadrática cerca de un cero simple. La principal dificultad con este método está en cómo escoger un punto inicial, de tal forma que las iteraciones del endomorfismo de Newton converjan.