Aplicaciones del axioma de Martin

Abstract

There are many axiomatic systems for set theory, but choosing axioms is no easy matter. According to Wikipedia, an axiom is a proposition that does not require demonstration, since it is considered an "evident truth"; On which rests the rest of the knowledge or on which other knowledge is built. In this work I present applications of a not so axiomatic axiom, since at least to me it does not seem so "obvious" to me, and I think it has little intuitive. However, it perfectly fulfills the second part of the definition; The purpose of this paper is to talk about some knowledge that is built on the Martin Axiom. In the second chapter I present some definitions and theorems that will be used throughout this work. Most of them have to do with set theory, results that are usually part of a degree course. The third chapter states Martin's Axiom and some of its equivalences. Among them is a stronger version of Baire's category theorem, which as we see throughout the paper, is one of the many theorems that can be extended by adding Martin's Axiom to ZFC. In the fourth chapter there are already some of the consequences, such as the fact that c is a regular cardinal, and that for all κ <c, Martin's Axiom implies that 2 κ = 2 א 0. This and other results Show how Martin's Axiom "extends" many customary theorems of set theory, measure, and category.

Hay muchos sistemas axiomáticos para la teoría de conjuntos, pero escoger axiomas no es cosa fácil. Según Wikipedia, un axioma es una proposición que no requiere demostración, pues se considera una “verdad evidente”; sobre la cual descansa el resto del conocimiento o sobre la cual se construyen otros conocimientos. En este trabajo presento aplicaciones de un axioma no tan axioma, ya que al menos a m ́ı no me parece tan “evidente”, y creo que de intuitivo tiene poco. Sin embargo, cumple perfectamente la segunda parte de la definición; el propósito de este trabajo es hablar sobre algunos conocimientos que se construyen sobre el Axioma de Martin. En el segundo capítulo presento algunas definiciones y teoremas que serán usados a lo largo de este trabajo. La mayor parte de ellas tienen que ver con teoría de conjuntos, resultados que generalmente forman parte de un curso de licenciatura. El tercer capítulo enuncia el Axioma de Martin y algunas de sus equivalencias. Entre ellas se encuentra una versión más fuerte del teorema de categoría de Baire, que como se ver ́ a lo largo del trabajo, es uno de los muchos teoremas que pueden ser extendidos al agregar al Axioma de Martin a ZFC. En el cuarto capítulo ya se encuentran algunas de las consecuencias, tales como el hecho de que c es un cardinal regular, y que para todo κ < c, el ́ Axioma de Martin implica que 2 κ = 2 א 0. Este y otros resultados muestran como el Axioma de Martin “extiende” a muchos teoremas usuales de teoría de conjuntos, medida y categoría.