Propiedades de las soluciones de la ecuación de onda en los espacios de dimensión uno y dos

Abstract

The study of the wave equation was the motivation for the first works in Partial Differential Equations. Jean Rond D'Alembert (1717-1783) published in 1743 Fraite de dynamique, an article in which the equation of a string was considered. Considerable arguments arose between D'Alembert and Leonar Euler (1707-1783), publishing important articles between 1734 and 1748. These articles established periodic solutions and initial conditions involving discontinuous functions. Jean Bernoulli (1700-1782) studied wavelengths in bars and considerably extended the initial set of admissible conditions. Some time later, Joseph-Louis Lagrange considered the propagation of sound and reached the threshold discovery of the series of Fourier in 1759. Between 1762 and 1763, Euler and D'Alembert solve waves in a string by a great variety of techniques, and in 1759, Euler considers waves on a membrane. In our thesis, we will consider the Cauchy problem for the wave equation in one dimension (infinite string) and the mixed problem for the wave equation on the half-infinite (fixed-left end). To investigate the vibrations of the semi-infinite string, we must consider the Cauchy problem on the IR + half-wave. It turns out that although the initial data ? and ? are infinitely differentiable in IR +, the solution of the problem does not belong to C 2, if the second derivative ? (0) = 0 (see Lemma 3.1.2). Therefore, the solution of the problem is not the classical solution; This implies that it is necessary to understand the solution in another sense, called the generalized sense or the weak sense.

El estudio de la ecuación de onda fue la motivación para los primeros trabajos en Ecuaciones Diferenciales Parciales. Jean Rond D’Alembert (1717 − 1783) publicó en 1743 Fraite de dynamique, artículo en el cual fue considerada la ecuación de una cuerda. Considerables argumentos surgieron entre D’Alembert y Leonar Euler (1707 − 1783) publicando importantes artículos entre 1734 y 1748. En estos artículos se establecieron soluciones periódicas y condiciones iniciales que envolvían funciones discontinuas. Jean Bernoulli (1700-1782) estudio ondas en barras y extendió considerablemente el conjunto de condiciones iniciales admisibles. Un tiempo después, Joseph-Louis Lagrange considero la propagación del sonido y llego al descubrimiento umbral de las series de Fourier en 1759. Entre 1762 y 1763, Euler y D’Alembert resuelven ondas en una cuerda por una gran variedad de técnicas, y en 1759, Euler considera ondas en una membrana. En nuestra tesis consideraremos el Problema de Cauchy para la ecuación de onda en una dimensión (cuerda infinita) y el problema mixto para la ecuación de onda sobre la semirrecta (cuerda semi-infinita con extremo izquierdo fijo). Para investigar las vibraciones de la cuerda semi-infinita hay que considerar el problema de la Cauchy sobre la semirrecta IR +. Resulta que aunque los datos iniciales φ y ψ sean infinitamente diferenciables en IR +, la solución del problema no pertenece a C 2, si la segunda derivada φ (0) = 0 (véase Lema 3.1.2). Por lo tanto, la solución del problema no es la solución clásica; esto implica que es necesario entender la solución en otro sentido, llamado el sentido generalizado ́o el sentido débil.