In the present thesis we will focus on the estimation of sum-product and one of its most spectacular applications: the estimation of trigonometric sums. The application of the sum-product estimate to trigonometric sums appeared for the first time in Bourgain, Glibichuk and Konyagin [5]. Subsequently the results of [5] were improved in works by Bourgain [3], Bourgain and Garaev [4] and Garaev [15]. The thesis is based on [15] and consists of four chapters. Chapter 1 begins by recapitulating the classic results on Gauss sums. It then shows how the problem of its estimation relates to the estimation of multi-linear trigonometric sums and to the sum-product estimate on Fp. In Chapter 2 we introduce the notions of additive combinatorial necessary to test the results that become in non-trivial estimates for Gauss sums of higher grades. Among the main notions and results addressed in this chapter are: Ruzsa's triangular inequality, Plünecke's graphs and their basic properties, Plünnecke's inequality, Ruzsa-Plünnecke's inequality, Bourgain-Garaev's version of the Balog-Szemerédi-Gowers estimation and the relationships between additive and multiplicative sets energies and sum-product estimates. Chapter 3 begins with the solution to the problem of the sum-product estimation in Fp. Before establishing the theorem in all its generality, a Garaev result is presented which implies the sum-product estimation on subsets of relatively large cardinal Fp. This chapter also demonstrates an explicit version of the sum-product estimate of Bourgain for different sets. Chapter 4 addresses the estimation of multilinear trigonometric sums. It is in this section that the efforts of chapters 2 and 3 converge.
En la presente tesis nos dedicaremos a la estimación de suma-producto y a una de sus aplicaciones más espectaculares: la estimación de sumas trigonométricas. La aplicación de la estimación de suma-producto a sumas trigonométricas apareció por vez primera en Bourgain, Glibichuk y Konyagin [5]. Posteriormente los resultados de [5] fueron mejorados en trabajos de Bourgain [3], Bourgain y Garaev [4] y Garaev [15]. La tesis se basa en [15] y consta de cuatro capítulos. En el capítulo 1 se empieza por recapitular los resultados clásicos sobre sumas de Gauss. Después se muestra cómo el problema de su estimación se relaciona con la estimación de sumas trigonométricas multilineales y con la estimación de suma-producto sobre Fp. En el capítulo 2 se introducen las nociones de combinatoria aditiva necesarias para probar los resultados que devienen en estimaciones no triviales para sumas de Gauss de grados superiores. Entre las nociones y resultados principales que se abordan en este capítulo se encuentran: la desigualdad triangular de Ruzsa, las gráficas de Plünnecke y sus propiedades básicas, la desigualdad de Plünnecke, la desigualdad de Ruzsa-Plünnecke, la versión de Bourgain-Garaev de la estimación de Balog-Szemerédi-Gowers y las relaciones entre las energías aditivas y multiplicativas de conjuntos y las estimaciones de suma-producto. El capítulo 3 inicia con la solución al problema de la estimación de suma-producto en Fp. Antes de establecer el teorema en toda su generalidad, se presenta un resultado de Garaev que implica a la estimación de suma-producto sobre subconjuntos de Fp de cardinal relativamente grande. En este capítulo se demuestra también una versión explícita de la estimación de suma-producto de Bourgain para conjuntos diferentes. En el capítulo 4 se aborda la estimación de sumas trigonométricas multilineales. Es en este apartado donde confluyen los esfuerzos de los capítulos 2 y 3.
